深度神经网络模型训练之难众所周知，其中一个重要的现象就是 Internal Covariate Shift. Batch Norm 大法自 2015 年由Google 提出之后，就成为深度学习必备之神器。自 BN 之后， Layer Norm / Weight Norm / Cosine Norm 等也横空出世。本文从 Normalization 的背景讲起，用一个公式概括 Normalization 的基本思想与通用框架，将各大主流方法一一对号入座进行深入的对比分析，并从参数和数据的伸缩不变性的角度探讨 Normalization 有效的深层原因。

1. 为什么需要 Normalization

1.1 独立同分布与白化

机器学习界的炼丹师们最喜欢的数据有什么特点？窃以为，莫过于“独立同分布”了，即independent and identically distributed，简称为 i.i.d. 独立同分布并非所有机器学习模型的必然要求（比如 Naive Bayes 模型就建立在特征彼此独立的基础之上，而Logistic Regression 和 神经网络 则在非独立的特征数据上依然可以训练出很好的模型），但独立同分布的数据可以简化常规机器学习模型的训练、提升机器学习模型的预测能力，已经是一个共识。

因此，在把数据喂给机器学习模型之前，“白化（whitening）”是一个重要的数据预处理步骤。白化一般包含两个目的：

（1）去除特征之间的相关性 —> 独立；

（2）使得所有特征具有相同的均值和方差 —> 同分布。

白化最典型的方法就是PCA，可以参考阅读 PCAWhitening。

1.2 深度学习中的 Internal Covariate Shift

深度神经网络模型的训练为什么会很困难？其中一个重要的原因是，深度神经网络涉及到很多层的叠加，而每一层的参数更新会导致上层的输入数据分布发生变化，通过层层叠加，高层的输入分布变化会非常剧烈，这就使得高层需要不断去重新适应底层的参数更新。为了训好模型，我们需要非常谨慎地去设定学习率、初始化权重、以及尽可能细致的参数更新策略。

 Google 将这一现象总结为 Internal Covariate Shift，简称 ICS. 什么是 ICS 呢？

 在一个回答中做出了一个很好的解释：

1.3 ICS 会导致什么问题？

简而言之，每个神经元的输入数据不再是“独立同分布”。

其一，上层参数需要不断适应新的输入数据分布，降低学习速度。

其二，下层输入的变化可能趋向于变大或者变小，导致上层落入饱和区，使得学习过早停止。

其三，每层的更新都会影响到其它层，因此每层的参数更新策略需要尽可能的谨慎。

2. Normalization 的通用框架与基本思想

我们以神经网络中的一个普通神经元为例。神经元接收一组输入向量

由于 ICS 问题的存在， x 的分布可能相差很大。要解决独立同分布的问题，“理论正确”的方法就是对每一层的数据都进行白化操作。然而标准的白化操作代价高昂，特别是我们还希望白化操作是可微的，保证白化操作可以通过反向传播来更新梯度。

因此，以 BN 为代表的 Normalization 方法退而求其次，进行了简化的白化操作。基本思想是：在将 x  送给神经元之前，先对其做平移和伸缩变换， 将  x 的分布规范化成在固定区间范围的标准分布。

通用变换框架就如下所示：

 

我们来看看这个公式中的各个参数。

除了充分利用底层学习的能力，另一方面的重要意义在于保证获得非线性的表达能力。Sigmoid 等激活函数在神经网络中有着重要作用，通过区分饱和区和非饱和区，使得神经网络的数据变换具有了非线性计算能力。而第一步的规范化会将几乎所有数据映射到激活函数的非饱和区（线性区），仅利用到了线性变化能力，从而降低了神经网络的表达能力。而进行再变换，则可以将数据从线性区变换到非线性区，恢复模型的表达能力。

 

其中 M 是 mini-batch 的大小。

按上图所示，相对于一层神经元的水平排列，BN 可以看做一种纵向的规范化。由于 BN 是针对单个维度定义的，因此标准公式中的计算均为 element-wise 的。

 3.2 Layer Normalization —— 横向规范化

                                  

3.2 Layer Normalization —— 横向规范化

                               

层规范化就是针对 BN 的上述不足而提出的。与 BN 不同，LN 是一种横向的规范化，如图所示。它综合考虑一层所有维度的输入，计算该层的平均输入值和输入方差，然后用同一个规范化操作来转换各个维度的输入。

 

3.3 Weight Normalization —— 参数规范化

                    

 

 就完美地对号入座了！

回忆一下，BN 和 LN 是用输入的特征数据的方差对输入数据进行 scale，而 WN 则是用 神经元的权重的欧氏范式对输入数据进行 scale。虽然在原始方法中分别进行的是特征数据规范化和参数的规范化，但本质上都实现了对数据的规范化，只是用于 scale 的参数来源不同。

3.4 Cosine Normalization —— 余弦规范化

Normalization 还能怎么做？

然而天才的研究员们盯上了中间的那个点，对，就是

那怎么办呢？我们知道向量点积是衡量两个向量相似度的方法之一。哪还有没有其他的相似度衡量方法呢？有啊，很多啊！夹角余弦就是其中之一啊！而且关键的是，夹角余弦是有确定界的啊，[-1, 1] 的取值范围，多么的美好！仿佛看到了新的世界！

 

现在，BN, LN, WN 和 CN 之间的来龙去脉是不是清楚多了？ 

4. Normalization 为什么会有效？

我们以下面这个简化的神经网络为例来分析。

                                         

 

权重伸缩不变性可以有效地提高反向传播的效率。

4.2 Normalization 的数据伸缩不变性

数据伸缩不变性仅对 BN、LN 和 CN 成立。因为这三者对输入数据进行规范化，因此当数据进行常量伸缩时，其均值和方差都会相应变化，分子分母互相抵消。而 WN 不具有这一性质。

为什么用layer norm不用Batch norm

LN的主要作用是使得整个损失函数的曲线更为平滑，从而使得我们可以更平稳地进行训练。使用LN而不用BN处于以下几个角度的原因考虑：