PINN求解一维波动方程，pytorch框架，附代码（二）

pytorch和tensorflow区别

以下tensorflow简称TF

• pytorch具有更加易用的API，目前的TF 2.x + Keras也提供类似的易用的API
• pytorch构建动态计算图，方便调试，TF以静态图为主，有利于部署和加速，目前也支持动态图，鼓励用语法糖转化为静态图获得性能提升
• 部署方面，TF有完整的工具链，目前pytorch也增强了部署能力
• 可视化工具，TF集成有TensorBoard，pytorch也支持用TensorBoard

总结：但随着版本迭代，两者正在相互借鉴优点，差距逐渐缩小。学习阶段可以采用pytorch，获得成熟可用的项目后可以转用tensorflow部署获得更高的性能。

正问题

正问题是已知一切条件预测结果，这是一个确定性的计算过程。

• 已知方程形式，且已知$c=2$：
  $$\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}$$
  初始条件：
  $$u(x,0)=\sin (\pi x)+\sin (2\pi x)$$
  $$\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=0$$
  边界条件：
  $$u(0,t)=0,u(L,t)=0$$
  解析解：
  根据达朗贝尔公式可得：
  $$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+ct)+f(x-ct)]$$
  $f(x)$表达式如下：
  $$f(x)=sin(\pi x)+sin(2\pi x)$$
  损失函数表达式：
  $$\mathcal{L}(\theta )={\lambda }_{pde}{\mathcal{L}}_{pde}(\theta )+{\lambda }_{ic}{\mathcal{L}}_{ic}(\theta )+{\lambda }_{bc}{\mathcal{L}}_{bc}(\theta )$$
• 网络架构
  • 输入层：空间坐标$（x,t）$
  • 隐藏层：3层，每层50个神经元
  • 输出层：物理场预测值$u_{\theta }(x,t)$

值得一提的是：
PINN本身并不提供解的存在唯一性证明。这个保证来自于应用数学领域的微分方程理论。在将一个问题交给PINN求解之前，我们通常依赖于已知的数学定理来确保问题是一个“适定性问题”，即：

• ​存在性​：至少有一个解。
• ​唯一性​：最多有一个解。
• ​稳定性​：解连续地依赖于初始条件或边界条件。

例如将上述波动方程初始条件中的一阶导公式去掉，解就失去了唯一性，PINN就无法按预期工作。

逆问题

逆问题是已知一些观测数据，但是不确定方程中的一些系数是多少，目标是利用这些观测数据来反推出方程中的系数。更进一步，有大量的观测数据，但是不知道方程的具体形式，利用已有数据来推出方程的表达式，因此逆问题可能不具备适定性，求解更困难。

• 将上述正问题做两点改动，1.添加一些已知观测数据。2.参数c的数值未知。那么上述正问题就变成了一个逆问题。

此时损失函数表达式：
$$\mathcal{L}(\Theta )={\lambda }_{pde}{\mathcal{L}}_{pde}(\Theta )+{\lambda }_{ic}{\mathcal{L}}_{ic}(\theta )+{\lambda }_{bc}{\mathcal{L}}_{bc}(\theta )+{\lambda }_{data}{\mathcal{L}}_{data}(\theta )$$
$\Theta$表示的是$\theta$和参数$c$的集合。

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