01结构稳定性背景

• 很多结构需要评价它们的结构稳定性，细柱体、压杆和真空罐都是稳定性非常重要的结构的例子。

• 在不稳定性(屈曲)的开始, 在载荷没有实质性变化的情况下(除了一个小的载荷扰动), 结构的位移将有一个非常大的变化{△u}。

稳定：

不稳定：

• 当增加轴向载荷(F)时, 一个理想化的端部固定的柱体将呈现下述行为。

分叉点

• 分叉点是载荷历程中的一点, 该点可能存在两个分支解。

• 在理想化的端部固定柱体的情况下, 在临界载荷(Fcr)下, 柱体可向左或向右屈曲，因此可能存在两个载荷路径。在实际结构中, 几何缺陷的存在或力的扰动(P≠0) 将决定载荷路径的方向。

稳定、不稳定及中性平衡

• 考虑下图所示球的平衡，若表面向上凹, 平衡是稳定的, 扰动时, 球返回初始位置。若表面向下凹, 平衡是不稳定的, 扰动时, 球将滚开。若表面是平的, 球处于中性平衡, 扰动时, 钢球将保持在新的位置

稳定：

不稳定：

中性：

临界载荷

当F < Fcr 时, 柱体处于稳定平衡状态，若引入一个小的扰动力(P≠0), 然后卸载, 柱体将返回到它的初始位置。当F > Fcr 时, 柱体处于不稳定平衡状态, 任何扰动力将引起坍塌。当F = Fcr 时, 柱体处于中性平衡状态，把这个力定义为临界载荷。

极限载荷

•在实际结构中, 很难达到临界载荷，因为扰动和非线性行为, 低于临界载荷时结构通常变得不稳定。

02线性屈曲分析

• 前屈曲和坍塌载荷分析的分析技术包括:

–线性特征值屈曲

–非线性屈曲分析

特征值屈曲分析预测一个理想线弹性结构的理论屈曲强度(分叉点)特征值公式决定结构的分叉点，该方法与线弹性屈曲分析的教科书所述方法一致。Euler 柱体的特征值屈曲解与经典Euler 解吻合。

• 然而, 缺陷和非线性行为阻止大多数实际结构达到理想的弹性屈曲强度，特征值屈曲一般产生非保守解, 使用时应谨慎。

尽管特征值屈曲一般产生非保守的结果, 线性屈曲分析仍有两个优点:

-相对不费时(快捷)的分析。

-为了提供更真实的结果, 屈曲模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几何缺陷

线性屈曲分析基于经典的特征值问题。为推导特征值问题, 首先求解线弹性前屈曲载荷状态{P0} 的载荷-位移关系，即给定{P0} 求解

[Ke]{u0}= {P0}

得到

{u0} =施加载荷{P0} 的位移结果

{s} =与{u0}对应的应力

假设前屈曲位移很小, 在任意状态下({P}, {u}, {s})增量平衡方程由下式给出{△P} = [[Ke] + [K 

(

)]]{△u}

式中[Ke] = 弹性刚度矩阵

[K

(

)]=某应力状态{

} 下计算的初始应力矩阵

假设前屈曲行为是一个外加载荷{P0} 的线性函数,

则可得

因此, 整个前屈曲范围内的增量平衡方程变为

在不稳定性开始(屈曲载荷{Pcr}) 时, 在{△P}≈0 的情况下, 结构会出现一个变形{△u}。

把上述表达式({△P}≈0) 代入前面的前屈曲范围内的增量平衡方程, 则有

上述关系代表经典的特征值问题。

为了满足前面的关系, 必须有:

在n 个自由度的有限元模型中, 上述方程产生

(特征值) 的n阶多项式，这种情况下特征向量{△u}n表示屈曲时叠加到系统上的变形，由计算出的

最小值给定弹性临界载荷{Pcr}。

03非线性屈曲分析

下图为一般的非线性载荷变形曲线，该图说明理想载荷路径、有缺陷结构的载荷路径和该结构的实际动态响应。

有几种分析技术用于计算结构的非线性静力变形响应，这些技术包括:

-载荷控制

-位移控制

-弧长法

载荷控制:如下图所示, 考虑浅拱的快速通过分析，当以增量载荷(F) 求解该问题时, 求解采用载荷控制来完成。

载荷控制:

• 使用Newton-Raphson 载荷控制的困难是求解不能通过不稳定点。在不稳定点(Fcr), 切线刚度矩阵KT 是奇异的，使用载荷控制, Newton-Raphson 法不收敛。然而, 该类型的分析对描述结构的前屈曲行为是有用的。

位移控制:

• 当拱由增量位移加载时, 与力相反, 采用位移控制进行求解。位移控制的优点是, 除Fcr外, 它产生一个稳定的解。(强加的位移在不稳定点提供一个附加约束。)

位移控制:

•位移控制的缺点是只有在知道施加什么位移时才适用! 如果拱上施加压力载荷, 而不是集中力, 位移控制不可能使用。

对于较复杂的载荷状态, 一般也不清楚施加什么位移。

弧长法:

• 弧长法是一种求解方法, 用于获得不稳定性问题(KT 0) 或负的切线刚度(KT < 0) 的数值稳定解。

• 弧长法可用于比例载荷的静态问题。

• 尽管弧长法能求解复杂的力-变形响应问题, 但它最适合求解没有突然分叉点的平滑响应问题。

弧长法同时求解载荷和位移, 与Newton-Raphson 法相似，然而,引入了一个附加的未知项--载荷因子

力平衡方程可重写为,

为了容纳附加的未知项, 必须引入一个约束方程--弧长

，弧长把载荷因子

和弧长迭代中的位移增量{△u} 相联系。

–注意若去除约束

,则弧长法简化为全Newton-Raphson 法

观察弧长法和(完全) Newton-Raphson 法的区别的另一种方法是, Newton-Raphson 法在每一子步使用一个固定的外加载荷矢量{Fa}，而弧长法在每一子步使用一个可变的载荷矢量

{Fa}。

通过圆弧, 弧长法把增量载荷因子

与增量位移

相联系，图示

为全Newton-Raphson弧长法的增量载荷因子

和增量位移

。

通过强加弧长迭代以得到沿与平衡路径相交的圆弧收敛, 能够获得经历零或负的刚度行为的结构的解。

三个非线性屈曲技术的总结:

• 载荷控制、位移控制和弧长法总结如下，这是用于求解非线性静态屈曲问题的三个技术。

• 另一种方法是，可以通过动力学来求解屈曲问题, 后面将讨论。

• 非线性屈曲分析采用逐渐增加载荷的非线性静态分析, 以搜索在哪个载荷水平下结构开始变得不稳定。

• 使用非线性屈曲分析, 可以包括初始缺陷、塑性行为、接触、大变形响应及其它非线性行为。