1.概述

boxplot是在1977年由美国的统计学家约翰·图基(John Tukey)发明的，其包含五个基本元素：

• 最小值（Q0，第0四分位）： 去除离群点后的最小数值
• 最大值（Q4）： 去除离群点后的最大数值
• 中位数： 样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字
• 第一四分位数 (Q1)： 又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
• 第三四分位数 (Q3)： 又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。

除了上述5个基本元素，四分位距（InterQuartile Range,IQR）也常被用于boxplot的构造，其定义为第三四分位数与第一四分位数的差值，即 IQR=Q3-Q1。

boxplot的图形如下所示，其由箱（box）与须（whiskers ）构成，其中，箱的上下边界由Q3、Q1构成，箱的中间用中位数隔开。须（whiskers ）的上下边界则有多种变体。

一种标准的须定义方式为：数据集中的最大最小值；
另外也有：采用上限=Q3+1.5IQR,下限=Q1-1.5IQR,作为须的上下边界，在该边界外的点视为异常值。
此外还有例如如下几种须的边界定义方式：

• The minimum and the maximum value of the data set
• One standard deviation above and below the mean of the data set
• The 9th percentile and the 91st percentile of the data set
• The 2nd percentile and the 98th percentile of the data set
  

2.计算

前提：对数据进行排序

设数据长度为n

1. 中位数Q2：就是一般的统计意义上的中位数计算（n为奇数取中间，n为偶数取中间两值的平均值）
2. 第一四分位数Q1: 计算第一四分位置pos，再计算第一四分位数值。其中，第一四分位位置的计算方式并无统一标准，但通常有两种计算方式：方式一：$pos=1+\frac{n-1}{4}$；方式二：$pos=\frac{n+1}{4}$。四分位数值计算为简单的线性插值。
3. 第三四分位数Q3: 计算第三四分位置pos，再计算第三四分位数值。其中，第三四分位位置的计算方式并无统一标准，但通常有两种计算方式：方式一：$pos=1+\frac{3\ast (n-1)}{4}$；方式二：$pos=\frac{3(n+1)}{4}$。四分位数值计算为简单的线性插值。

3.例子（以方式一为例）：

数据为：num=[1,2,3,4,5,6,7,8],数据长度n=8

• 中位数Q2=(num[4]+num[5])/2=(4+5)/2=4.5
• 第一四分位数Q1: $pos=1+\frac{n-1}{4}=2.75$;$Q1=num[2]+0.75\ast (num[3]-num[2])=2+0.75\ast (2-1)=2.75$
• 第三四分位数Q3：$pos=pos=1+\frac{3\ast (n-1)}{4}=6.25$;$Q3=num[6]+0.25\ast (num[7]-num[6])=6+0.25\ast (7-6)=6.25$

代码：
中位数、第一四分位数Q1、第三四分位数Q3，计算过程如上所示，pandas中须的展示为：利用Q3+1.5IQR、Q1-1.5IQR确定异常值，将剩余数值中的最大最小值作为须得上下界：

import pandas as pd
num =[1,2,3,4,5,6,7,8]
df = pd.DataFrame(num)
boxplot = df.boxplot()
print(df.describe())

import pandas as pd
num =[-5,2,3,4,5,6,7,13]
df = pd.DataFrame(num)
boxplot = df.boxplot()
print(df.describe())

参考：wiki