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1、 线性控制系统工程 第 16章 伯德图分析，稳定性， 及幅值和相角裕度 g c 第 16章 伯德图分析 ,稳定性 及幅值和相角裕度 伯德图中的增益裕度和相角裕度 g c g c M pc pc pc db gc pc c M M GM PM MK K GM lg20 1 lg20 180 1 改变增益的作用是使幅值曲线上下平 移，而相角曲线不变。 如果 那么 条件稳定 dBKK lg20 6lg205.0lg205.0lg20 6lg202lg202lg20 dB dB KKK KKK 考虑下面的例子 K0.1 转折频率为 1, 0.5, 0.34 奈奎斯特稳定性判据 当相角为 -180o。

2、时，如果系统幅值小于或等 于 1，那么这个系统是稳定的。 在伯德图中， 单位幅值对应于 MdB0。 例子中 相位为 -180 时， 幅值约为 18dB ，因此系统是稳定的。 sss KsGH 3121 0.01 0.1 1.0 10 40 20 0 -20 -40 dbM -90 -180 -270 图 16.1 例子系统的伯德图 0 相位穿越点 增益穿越点 增加 K 将使幅值曲线向上平移动，从 而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点 保持不变。 系统最终处在临界不稳定点上。 计算临界不稳定时系统的幅值。 dBdB NKNK NKNK lg20 lg20lg20lg20 10log dbM 9。

3、0 180 270 K1 K2 K c K3 1 K1 K2 K3 Kc Re I m Re 图 .16.2 具有变化 K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹 I m K3 Kc K2 K1 在相位 -180 时， K dB 幅值约为 18dB， 如果系统不稳定 这个结果接近于先前分析的结果 K0.832. 误差是由伯德图的相角曲线 用直线近似引起的。 94.7 18lg20 N NN dBdBN 180 7 9 4.0 NKK c 伯德图中的增益裕度 增益裕度 用分贝表示 为 Kc 的分贝值 与增益 K的分贝值之差。 伯德图中的增益裕度和相角裕度 K KGM c KKGM cdB lg20lg2。

4、0 伯德图中的相位裕度 - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到 增益和相角穿越点发生在同一频率时 的纯相角滞后量 。 - 在图 16.1中 54PM 在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度 增益裕度 是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与 0dB线之间 的差值 用分贝表示 。 相角裕度 是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与 -180o线之间的差值。 10log 10log dbM 0db 0180 图 .16.3 增益裕度和相位裕度 GM PM 一般开环传递函数 当 趋于 0 时 系统的型和从伯德图得到 稳态误差 k n mb pspspss zszszsKsGH。

5、 /1/1/1 /1/1/1 21 21 nb s KsGH 0型系统 10log dbM 1020 log PK 图 .16.4 0型系统的伯德图 0 b n G H s K pGH j K 1型系统 幅值增益 如果 k1 ，那么当 1 时， 图形经过 Mdb 0dB线。 vKGH j bbKKG H s sj 10log dbM 1020 log vK 1 0180 -20db/decade 图 .16.5 1型系统的伯德图 Kv的值可以通过测量在 1处的增益 来获得。如果其他环节在频率 1之前作 用于对数幅频特性， 那么应该用低频渐近 线的延长线求出。 10log dbM -2。

6、0db/decade 1020 log vK 1 图 .16.6 1 型系统的另一种伯德图 2型系统 如果 ka1。 对数幅频特性 在当 1时，其低频段或它的延长线会以 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。 Ka 的值可以通过测量 1 处的 增益值来获得。 2sKsGH b 2 jKjGH a 1 10log 1020 log aK dbM -40db/decade 图 .16.7 2 型系统的伯德图 相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠 的参数。 无频率穿越点 - 考虑下面的例子 - 相角绝不会穿过 -180 线。 但是相位裕 度可以从增益穿越点 PM45处获得， 系统是稳定的。。

7、 进一步讨论增益裕度和相位裕度 10/1 12 ss sKsGH 0.01 0.1 1.0 10 40 20 0 -20 -40 dbM -90 -180 -270 图 16.8 无相位穿越点的伯德图 0 K1 MATLAB 仿真 10/1 12 ss ssGH systf1 1,0.2 1 0 0; bodesys pause 用根轨迹来验证 Re I m -10 -1 图 .16.9 系统的根轨迹图 多个频率穿越点 考虑下面的例子 增益穿越频率在 1处 , 相角裕度为 -45, 可判断出系统是不稳定的。 1 0 0 0/11 0 0/1 10/113 sss ssKsGH 这里有两个相位穿。

8、越频率，分别为 3 和 300。在每个频率处增益裕度是正 的， 表明系统是稳定的系统。 但相位裕度判断系统的确是不稳定的。 0.01 0.1 1.0 10 40 0 -40 -80 dbM -90 -180 -270 图 16.10 具有两个相位穿越点的系统 0 GM1K db K1 GM2Kdb -20 -40 -40 -60 PM MATLAB 仿真 1000/1100/1 10/113 sss sssGH systf0.1 1.1 1,0.00001 0.011 1 0 0 0; bodesys pause 用根轨迹来验证 在 kk1时， 系统是不稳定的； 在 k1kk2时， 系统再次不。

9、稳定。 图 .16.11 系统的根轨迹图 11 22 db db G M K G M K -1 -10 -100 -1000 Re I m KK2 KK1 3 poles K1 单一频率穿越点 增加相位 考虑下面的例子 相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。 增益裕度是正的，表明系统是稳定的。 考虑相位裕度，系统是稳定的。 3 22/1 s ssGH 0.1 1 10 100 40 0 -40 -40 dbM -90 -180 -270 图 16.12 具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图 0 -40 -60 PM GMK1db MATLAB 仿真 3 22/1 s ssGH systf0.2。

10、5 1 1,1 0 0 0; bodesys pause 从根轨迹得到证实， 系统是条件稳定 的。 当 kk1时， 系统是不稳定的。 3 poles 2 zeroes -2 KK1 K1 Re I m 图 .16.13 系统的根轨迹图 通过伯德图判断稳定性的可靠方法是 - 如果系统有正的相角裕度，那么系统是 稳定的。 - 相角裕度是由伯德图判定系统稳定性的 唯一可靠的方法。 改进的奈奎斯特判据 根据沿着频率增 加方向的频率特性，观察临界点是在 其左边还是右边通过，是由极坐标图 判断稳定性的唯一可靠的方法。 当 k k1时， 系统是稳定的 -1 0 Re I m 图 .16.14 稳定系统的奈。

11、奎斯特图 问题 如图所示的系统， 画出当 K45时的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度。 计算使系统稳定的最大 K值， 并用劳斯阵 列验证其结果。 例题 16.1 K 3 1 2 3 ss- R C 图 .SP16.1.1 解 开环传递函数 转折频率发生在 2 和 3处， 将 会在以下的频率范围画出伯德图 22 3 1 1 2 1 1 5.2 32 45 ss ss sGH 1 0 01.0 dBK dB 85.2lg20 50 11 PMdBGM 0.1 1 10 100 20 0 -20 -40 dbM -90 -180 -270 图 .SP16.1.2 0 PM GM MAT。

12、LAB 仿真 22 3 1 1 2 1 1 5.2 32 45 ss ss sGH systf45,1 8 21 18; bodesys pause 获得最大值 KmaxNK 用劳斯阵列来验证结果 特征方程为 误差与增益裕度的精确性有关 101 1 2 0 l o g 3 . 5 5 4 5 3 . 5 5 1 6 0N N K 2 3 2 2 3 8 2 1 1 8 0s s K s s s K 2 1 0 8 18 1 168 18 0 8 18 0 sK sK sK 3s 1 21 1 6 8 1 8 0 150 K k 问题 一个单位反馈控制系统，其开环传 递函数为 。

13、画出当 K0.8时系统的伯德图， 并确定 增益裕度和相位裕度。 使系统的相位裕 度约为 60的 K为何值 解 例题 16.2 41 52 ssss sKsG 2 22 4/4/11 5/125.1 4/4/114 5/15 ssss sK ssss sKsGH 转折频率 1 两次 , 5 零 , n2 二 阶系统的转折频率 . 将在以下频率范围内画出伯德图 画出每一个环节的增益和相位曲线 0 .2 5 4 12 n 1 0 01.0 dB 025.1 K 0.01 0.1 1.0 10 40 20 0 -20 -40 dbM -90 -180 -270 图 16.2.1 0 0.01 0.1 1.0 10 40 20 0 -20 -40 dbM -180 -360 图 16.2.2 0 PM60 GM3db 3db 二阶环节 频率比 / n 频率比 / n 增益裕度为 3 dB，相位裕度约为 35。 为了给系统提供一个 60的相位裕度，幅 值曲线需要下平移约 3dB 56.08.07.0 7.0 lg203 lg20 K N N NKNK dBdB 作业 P339 16.1 a. P339 16.3 e. 。