机器学习算法
代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消2 的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2 可以消去# 计算代价函数 def computerCost(X,y,theta): m = len(y) J = 0J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J return J
求偏导得到：
为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取 0.01,0.03,0.1,0.3…f(x)f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长 α△x 代入泰勒展开式中：f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]+o(△x)α 是取得很小的正数，[f'(x)] 也是正数，所以可以得出：f(x+△x)<=f(x)# 梯度下降算法 def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters): m = len(y) n = len(theta)temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式 J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值 for i in range(num_iters): # 遍历迭代次数 h = np.dot(X,theta) # 计算内积，matrix可以直接乘 temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y))) #梯度的计算 theta = temp[:,i] J_history[i] = computerCost(X,y,theta) #调用计算代价函数 print '.', return theta,J_history
为所有此 feture 数据的平均值
可以是最大值-最小值，也可以是这个 feature 对应的数据的标准差# 归一化feature def featureNormaliza(X): X_norm = np.array(X) #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算 #定义所需变量 mu = np.zeros((1,X.shape[1])) sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))mu = np.mean(X_norm,0) # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行） sigma = np.std(X_norm,0) # 求每一列的标准差 for i in range(X.shape[1]): # 遍历列 X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i] # 归一化 return X_norm,mu,sigma
from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler #引入缩放的包
# 归一化操作
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X)
x_train = scaler.transform(X)
x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))
# 线性模型拟合
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(x_train, y)
#预测结果
result = model.predict(x_test)
的图像如下，即 y=1 时：
可以看出，当
趋于 1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价 cost 趋于 0，若趋于 0，y=1,此时的代价 cost 值非常大，我们最终的目的是最小化代价值
的图像如下（y=0)：
# 代价函数 def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) J = 0h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 theta1[0] = 0 temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1) J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程 return J
# 计算梯度 def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() theta1[0] = 0 grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度 return grad
)# S型函数 def sigmoid(z): h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，与z的长度一置h = 1.0/(1.0+np.exp(-z)) return h
# 映射为多项式
def mapFeature(X1,X2):
degree = 3; # 映射的最高次方
out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组（取代X）
'''
这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
'''
for i in np.arange(1,degree+1):
for j in range(i+1):
temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
return out
scipy 的优化方法scipy 中 optimize 中的 fmin_bfgs 函数 result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np
# 划分为训练集和测试集
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)
# 归一化
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(x_train)
x_train = scaler.fit_transform(x_train)
x_test = scaler.fit_transform(x_test)
#逻辑回归
model = LogisticRegression()
model.fit(x_train,y_train)
# 预测 predict = model.predict(x_test) right = sum(predict == y_test)predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1))) # 将预测值和真实值放在一块，好观察 print predict print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #计算在测试集上的准确度
# 显示100个数字 def display_data(imgData): sum = 0 ''' 显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可） - 初始化一个二维数组 - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组 - 显示即可 ''' pad = 1 display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad))) for i in range(10): for j in range(10): display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行 sum += 1plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像 plt.axis('off') plt.show()
0,1,2...9 的数字，而进行逻辑回归需要 0/1 的 label 标记，所以需要对 y 处理500 个是 0,500-1000 是 1,...,所以如下图，处理后的 y，前 500 行的第一列是 1，其余都是 0,500-1000 行第二列是 1，其余都是 0…
theta# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda): # 初始化变量 m,n = X.shape all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta# 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',') '''遍历每个分类，计算对应的theta值''' for i in range(num_labels): result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法 all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中 all_theta = np.transpose(all_theta) return all_theta
theta 代入预测的 S 型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为 0 的将 y 映射在第一列，为 1 的映射在第二列，依次类推# 预测 def predict_oneVsAll(all_theta,X): m = X.shape[0] num_labels = all_theta.shape[0] p = np.zeros((m,1)) X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #预测 ''' 返回h中每一行最大值所在的列号 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率） - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字） ''' p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0])) for i in np.arange(1, m): t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i])) p = np.vstack((p,t)) return p
from scipy import io as spio
import numpy as np
from sklearn import svm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
data = loadmat_data("data_digits.mat")
X = data['X'] # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px
y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
model = LogisticRegression()
model.fit(X, y) # 拟合
predict = model.predict(X) #预测print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)
为补上的 bias，通常设为 1)
表示第 j 层的第 i 个激励，也称为为单元 unit
为第 j 层到第 j+1 层映射的权重矩阵，就是每条边的权重
其中，S 型函数
，也成为激励函数
为 3x4 的矩阵，
为 1x4 的矩阵
==》j+1 的单元数 x（j 层的单元数 +1)
，即代表输出层有 K 个单元
其中，
代表第 i 个单元输出
差不多，就是累加上每个输出（共有 K 个输出)L–> 所有层的个数
–> 第 l 层 unit 的个数
共有 L-1 层，# 代价函数 def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] # theta的中长度 # 还原theta1和theta2 Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1) Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)# np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',') m = X.shape[0] class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始''' Theta1_colCount = Theta1.shape[1] Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount] Theta2_colCount = Theta2.shape[1] Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount] # 正则化向theta^2 term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))) '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias''' a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1)) a2 = sigmoid(z2) a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2)) z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2)) h = sigmoid(z3) '''代价''' J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m return np.ravel(J)
J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度
记为–>l 层第 j 个单元的误差
，因为对于输入没有误差
，即得到代价函数的梯度# 梯度 def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1).copy() # 这里使用copy函数，否则下面修改Theta的值，nn_params也会一起修改 Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1).copy() m = X.shape[0] class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始''' Theta1_colCount = Theta1.shape[1] Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount] Theta2_colCount = Theta2.shape[1] Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount] Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一层到第二层的权重 Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二层到第三层的权重 '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias''' a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1)) a2 = sigmoid(z2) a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2)) z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2)) h = sigmoid(z3) '''反向传播，delta为误差，''' delta3 = np.zeros((m,num_labels)) delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size)) for i in range(m): #delta3[i,:] = (h[i,:]-class_y[i,:])*sigmoidGradient(z3[i,:]) # 均方误差的误差率 delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:] # 交叉熵误差率 Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1)) delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:]) Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1)) Theta1[:,0] = 0 Theta2[:,0] = 0 '''梯度''' grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m return np.ravel(grad)
链式求导 法则y 非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。
BP 求的梯度是否正确
# 检验梯度是否计算正确 # 检验梯度是否计算正确 def checkGradient(Lambda = 0): '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了''' input_layer_size = 3 hidden_layer_size = 5 num_labels = 3 m = 5 initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels) X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m) y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化yy = y.reshape(-1,1) nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展开theta '''BP求出梯度''' grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) '''使用数值法计算梯度''' num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0])) step = np.zeros((nn_params.shape[0])) e = 1e-4 for i in range(nn_params.shape[0]): step[i] = e loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e) step[i]=0 # 显示两列比较 res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1))) print res
theta 为 0,因为若是每条边的权重都为 0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重
epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
return W
# 预测 def predict(Theta1,Theta2,X): m = X.shape[0] num_labels = Theta2.shape[0] #p = np.zeros((m,1)) '''正向传播，预测结果''' X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1))) h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1)) h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))''' 返回h中每一行最大值所在的列号 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率） - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字） ''' #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',') p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0])) for i in np.arange(1, m): t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i])) p = np.vstack((p,t)) return p
y=1，cost 代价函数如图所示
y=0 时同样，用
代替
最后我们想要
可以认为这里的
，只是表达形式问题，这里 C 的值越大，SVM 的决策边界的 margin 也越大，下面会说明margin 将其分开
向量V 在 向量u 上的投影的长度记为 p，则：向量内积：
C 越大时，margin 也就越大，我们的目的是最小化代价函数 J(θ),当 margin 最大时，C 的乘积项
要很小，所以近似为：
，θ
可以得到：
，p 即为 x 在 θ 上的投影θ 上的投影为 p,则
或者
，若是 p 很小，则需要
很大，最后求的是 large margin
令
σ 越小，f 下降的越快
J 求出 θ，
，==》预测 y=1scikit-learn 中的 SVM 模型代码linear：'''data1——线性分类''' data1 = spio.loadmat('data1.mat') X = data1['X'] y = data1['y'] y = np.ravel(y) plot_data(X,y)model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数
rbf'''data2——非线性分类''' data2 = spio.loadmat('data2.mat') X = data2['X'] y = data2['y'] y = np.ravel(y) plt = plot_data(X,y) plt.show()model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y) # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好
聚类属于无监督学习，不知道 y 的标记分为 K 类
K-Means 算法分为两个步骤
第一步：簇分配，随机选 K 个点作为中心，计算到这 K 个点的距离，分为 K 个簇
第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。
如下图所示：
随机分配的聚类中心
重新计算聚类中心，移动一次
最后 10 步之后的聚类中心
计算每条数据到哪个中心最近实现代码：
# 找到每条数据距离哪个类中心最近 def findClosestCentroids(X,initial_centroids): m = X.shape[0] # 数据条数 K = initial_centroids.shape[0] # 类的总数 dis = np.zeros((m,K)) # 存储计算每个点分别到K个类的距离 idx = np.zeros((m,1)) # 要返回的每条数据属于哪个类'''计算每个点到每个类中心的距离''' for i in range(m): for j in range(K): dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1)) '''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别 - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值 - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标 - 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以） ''' dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) return idx[0:dis.shape[0]] # 注意截取一下
# 计算类中心
def computerCentroids(X,idx,K):
n = X.shape[1]
centroids = np.zeros((K,n))
for i in range(K):
centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1) # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值
return centroids
表示第 i 条数据距离哪个类中心最近，
即为聚类的中心# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心
def kMeansInitCentroids(X,K):
m = X.shape[0]
m_arr = np.arange(0,m) # 生成0-m-1
centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))
np.random.shuffle(m_arr) # 打乱m_arr顺序
rand_indices = m_arr[:K] # 取前K个
centroids = X[rand_indices,:]
return centroids
J 和 K 的图，若是出现一个拐点，如下图所示，K 就取拐点处的值，下图此时 K=3
# 聚类算法 def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process): m,n = X.shape # 数据条数和维度 K = initial_centroids.shape[0] # 类数 centroids = initial_centroids # 记录当前类中心 previous_centroids = centroids # 记录上一次类中心 idx = np.zeros((m,1)) # 每条数据属于哪个类for i in range(max_iters): # 迭代次数 print u'迭代计算次数：%d'%(i+1) idx = findClosestCentroids(X, centroids) if plot_process: # 如果绘制图像 plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程 previous_centroids = centroids # 重置 centroids = computerCentroids(X, idx, K) # 重新计算类中心 if plot_process: # 显示最终的绘制结果 plt.show() return centroids,idx # 返回聚类中心和数据属于哪个类
from sklearn.cluster import KMeans
model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据
centroids = model.cluster_centers_ # 聚类中心
3D-->2D 等
归一化 处理1 个 向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小nD-->kD 就是找 k 个向量，所有数据投影到上面使投影误差最小x 与 y 的关系，然后用于预测 yPCA 是找一个投影面，最小化 data 到这个投影面的投影误差# 归一化数据 def featureNormalize(X): '''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差''' n = X.shape[1] mu = np.zeros((1,n)); sigma = np.zeros((1,n))mu = np.mean(X,axis=0) sigma = np.std(X,axis=0) for i in range(n): X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i] return X,mu,sigma
Σ 和求和符号不同对称正定（不理解正定的看看线代）nxn,n 为 feature 的维度Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m # 求Sigma
Σ 的特征值和特征向量svd 奇异值分解函数：U,S,V = svd(Σ)Σ 同样大小的对角阵 S（由 Σ 的特征值组成）[注意：matlab 中函数返回的是对角阵，在 python 中返回的是一个向量，节省空间]
svd 函数求出的 S 是按特征值降序排列的，若不是使用 svd,需要按特征值大小重新排列 UU 中的前 K 列（假设要降为 K 维）
Z 就是对应降维之后的数据# 映射数据 def projectData(X_norm,U,K): Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))U_reduce = U[:,0:K] # 取前K个 Z = np.dot(X_norm,U_reduce) return Z
Sigma = X'*X/mU,S,V = svd(Sigma)Ureduce = U[:,0:k]Z = Ureduce'*x # 恢复数据
def recoverData(Z,U,K):
X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
U_recude = U[:,0:K]
X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude)) # 还原数据（近似）
return X_rec
1%，5%，10% 等K 尝试。Overfitting，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）2 维数据降为 1 维
要投影的方向
2D 降为 1D 及对应关系
人脸数据降维
原始数据
可视化部分 U 矩阵信息
恢复数据
# -*- coding: utf-8 -*-
# Author:bob
# Date:2016.12.22
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import io as spio
from sklearn.decomposition import pca
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
'''归一化数据并作图'''
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X)
x_train = scaler.transform(X)
n_components 对应要将的维度 '''拟合数据'''
K=1 # 要降的维度
model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train) # 拟合数据，n_components定义要降的维度
Z = model.transform(x_train) # transform就会执行降维操作
model.components_ 会得到降维使用的 U 矩阵 '''数据恢复并作图'''
Ureduce = model.components_ # 得到降维用的Ureduce
x_rec = np.dot(Z,Ureduce) # 数据恢复
Gaussian distributionu 为数据的均值，σ 为数据的标准差σ 越小，对应的图像越尖p(x),若是 P(x)<ε 则认为异常，其中 ε 为我们要求的概率的临界值 thresholdfeature 之间是独立的，下面会讲到多元高斯分布，会自动捕捉到 feature 之间的关系# 参数估计函数（就是求均值和方差） def estimateGaussian(X): m,n = X.shape mu = np.zeros((n,1)) sigma2 = np.zeros((n,1))mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列，每列的均值 sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差 return mu,sigma2
p(x) 的好坏，以及 ε 的选取y=1 的个数非常少，(y=1 表示异常)），所以可以使用 Precision/Recall，计算 F1Score(在 CV 交叉验证集上)99% 能够预测正确，1% 的错误率，但是实际癌症的概率很小，只有 0.5%，那么我们始终预测没有癌症 y=0 反而可以得到更小的错误率。使用 error rate 来评估就不科学了。
ε 的选取ε 值，使 F1Score 的值高# 选择最优的epsilon，即：使F1Score最大
def selectThreshold(yval,pval):
'''初始化所需变量'''
bestEpsilon = 0.
bestF1 = 0.
F1 = 0.
step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
'''计算'''
for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
cvPrecision = pval<epsilon
tp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 1).ravel()).astype(float) # sum求和是int型的，需要转为float
fp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0).ravel()).astype(float)
fn = np.sum((cvPrecision == 0) & (yval == 1).ravel()).astype(float)
precision = tp/(tp+fp) # 精准度
recision = tp/(tp+fn) # 召回率
F1 = (2*precision*recision)/(precision+recision) # F1Score计算公式
if F1 > bestF1: # 修改最优的F1 Score
bestF1 = F1
bestEpsilon = epsilon
return bestEpsilon,bestF1
log(x+C),x^(1/2) 等p(x) 的值无论异常与否都很大，可以尝试组合多个 feature,(因为 feature 之间可能是有关系的)单元高斯分布存在的问题
如下图，红色的点为异常点，其他的都是正常点（比如 CPU 和 memory 的变化）
x1 对应的高斯分布如下：
x2 对应的高斯分布如下：
可以看出对应的 p(x1)和 p(x2)的值变化并不大，就不会认为异常
因为我们认为 feature 之间是相互独立的，所以如上图是以正圆的方式扩展
例如： 
表示 x1,x2 正相关，即 x1 越大，x2 也就越大，如下图，也就可以将红色的异常点检查出了
若：
表示 x1,x2 负相关
实现代码：
# 多元高斯分布函数
def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
k = len(mu)
if (Sigma2.shape[0]>1):
Sigma2 = np.diag(Sigma2)
'''多元高斯分布函数'''
X = X-mu
argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1)) # axis表示每行
return p
feature 之间的关系时可以使用m>n 或 Σ 可逆时可以使用。（若不可逆，可能有冗余的 x，因为线性相关，不可逆，或者就是 m<n）
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