常用统计量

1.表示位置的统计量——平均值和中位数

平均值（或均值，数学期望）：
$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$
式中，x表示统计中的样本。
中位数：将数据由小到大排序后居于中间位置的那个数值

• mean（a，dim）——默认是求每一列的平均值，dim=1给出每一列的平均值，dim=2表示给出每一行的平均值，
• median（a，dim），默认是求每一列的中位数，dim=1给出每一列的中位数，dim=2表示给出每一行的中位数，

A=[1:5;2:6;3:7]
b=mean(A,1)%求每一列的平均值
c=mean(A,2)%求每一行的平均值
d=median(A,1)
e=median(A,2)

平均值

中位数

2.表示变异程度的统计量——标准差、方差和极差

标准差是各个数据与均值偏离程度的度量，其定义为：
$$s=\sqrt{\left[\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2\right]}$$

其中X表示统计中的样本
方差：标准差的平方
极差：样本中最大值与最小值之差
matlab求解方差和标准差的函数分别是var(x)和std(x)

A=[1:5;2:6;3:7]
var(A)%返回每一列的方差,自由度为(n-1)
var(A,1)%自由度为n
std(A)%求每一列的标准差

3. 表示分布形状统计量——偏度和峰度

偏度：
$$g_1=\frac{1}{s^3}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^3$$
偏度反映分布的对称性，可以看出偏度可正可负，如果偏度大于0那么就是右偏态，否则是左偏态
峰度：
$$g_2=\frac{1}{s^4}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^4$$
峰度是分布形状的另外一种度量，正态分布的峰度为3，若$g_2$比3大很多，可近似说明不是正态分布
在matlab中，可以使用jbtest函数进行Jarque-Bera检验，测试数据对正态分布的偏离程度
若输出h=1，则可说明在0.05的显著性水平下不是正态分布

data=[10,11,12,13,14,15,16,78,19,20,20,20,20,20, 11,12,13,14, 15,12,12,12,12,12,12,11,13]
[H,P]=jbtest(data)%输出h值和p值

即不服从正态分布

随即数的生成

1.二项分布随机数

• binord（N,P,m，n）——n，p是二项分布的两个参数，m，n是生成矩阵的行和列
  $$\begin{gathered} \text{某射击手进行设计比赛，假设每枪射击命中率，每轮射击}10\text{次，共进行}10\text{万轮。} \\ \text{用直方图表示这}10\text{万轮每轮命中成绩的可能情况。} \end{gathered}$$

x=binornd(10,0.45,100000,1);
hist(x,11)

由此可知，该射击员最有可能命中4环

2.泊松分布随机数

泊松分布表达式为：
$$f\left(x|\beta \right)=\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda },x=0,1,...,\infty$$

x=1:20
y=poisspdf(x,5)%产生20个随机数
plot(x,y,":r*")%画概率密度函数图

3.均匀分布随机数

*unifrnd（A,B）以A为上限，B为下限生成均匀分布随机数

unifrnd(10,20)

4.正态分布随机数

*使用normrnd（mu，sigma）函数可以生成正态分布随机数，其中mu是均值，sigma是标准差

normrnd(3,2,3,3)

假设检验

1.方差已知时均值的假设检验

在给定方差的条件下，可以使用ztest函数来检验单样本数据是否服从给定均值的正态分布。
ztest（x,m,sigma,alpha,tail）,tail=0是双侧，等于-1和1是单侧
某工厂随机选取的8只零部件的装配时间如下：

12.1478 ,  11.3194 ,  18.1945   ,19.3617  , 15.7478  , 17.3202 ,  19.1669 ,19.5776

假设装配时间的总体服从正态分布，标准差为3.24，请检测装配时间的均值与15有无明显差异

m=[ 12.1478 ,  11.3194 ,  18.1945   ,19.3617  , 15.7478  , 17.3202 ,  19.1669 ,19.5776]
ztest(m,14,3.24,0.05,0)

输出结果为1，即可以得出在0.05的显著性水平下，装配时间的均值不等于15

2.方差已知时均值的假设检验

*ttest（x，m，alpha，tail）
假设某种电子元件的寿命X服从正态分布，且均值和方差未知。现在获取10只元件的寿命如下：

10.1,10.2,10.11,10.33,10.44,10.55,10.66,10.12,10.31,10.15

请判断平均寿命与10是否有显著差异

m=[10.1,10.2,10.11,10.33,10.44,10.55,10.66,10.12,10.31,10.15]
ttest(m,10)

同样拒绝原假设，即有显著差异