智能计算数学基础——常用不等式
1、绝对值不等式
求和的绝对值≤绝对值的求和
∣ a 1 + ⋯ + a n ∣ ≤ ∣ a 1 ∣ + ⋯ + ∣ a n ∣ |a_1+\cdots +a_n|≤|a_1|+\cdots+|a_n| ∣a1+⋯+an∣≤∣a1∣+⋯+∣an∣
即： ∣ ∑ i = 1 n a i ∣ ≤ ( ∑ i = 1 n a i 2 ) |\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i|≤(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2) ∣i=1∑nai∣≤(i=1∑nai2)
2、Cauchy(柯西)不等式
( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 ≤ ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 (1) (\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2≤\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i^2\tag{1} (i=1∑naibi)2≤i=1∑nai2i=1∑nbi2(1)
⇔ ∣ < a , b > ∣ ≤ ∣ ∣ a ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ b ∣ ∣ \Leftrightarrow|<a,b>|≤||a||·||b|| ⇔∣<a,b>∣≤∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣
证明1：
式(1)右边-左边
= ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 − ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i^2-(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2 =i=1∑nai2i=1∑nbi2−(i=1∑naibi)2
= ∑ i , j n ( a i b j − a j b i ) 2 =\displaystyle\sum_{i,j}^{n}(a_ib_j-a_jb_i)^2 =i,j∑n(aibj−ajbi)2 ≥ 0 ≥0 ≥0
不等式成立。
证明2：
显而易见， ∀ λ ≥ 0 ， ∑ i = 1 n ( a i − λ b i ) 2 ≥ 0 \forall \lambda ≥0，\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_i-\lambda b_i)^2≥0 ∀λ≥0，i=1∑n(ai−λbi)2≥0
⇒ ∑ i = 1 n ( a i 2 − 2 a i b i λ + b i 2 λ 2 ) ≥ 0 \Rightarrow\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_i^2-2a_ib_i\lambda+ b_i^2\lambda^2)≥0 ⇒i=1∑n(ai2−2aibiλ+bi2λ2)≥0
⇒ ( ∑ i = 1 n b i 2 ) λ 2 − 2 ( ∑ i = 1 n a i b i ) λ + ∑ i = 1 n a i 2 ≥ 0 \Rightarrow(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i^2)\lambda^2-2(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)\lambda+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2≥0 ⇒(i=1∑nbi2)λ2−2(i=1∑naibi)λ+i=1∑nai2≥0
记 f ( λ ) = ( ∑ i = 1 n b i 2 ) λ 2 − 2 ( ∑ i = 1 n a i b i ) λ + ∑ i = 1 n a i 2 f(\lambda)=(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i^2)\lambda^2-2(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)\lambda+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2 f(λ)=(i=1∑nbi2)λ2−2(i=1∑naibi)λ+i=1∑nai2，它是一个二次函数，
f ( λ ) ≥ 0 f(\lambda)≥0 f(λ)≥0，则方程 f ( λ ) = 0 f(\lambda)=0 f(λ)=0根的判别式≤0。
即： b 2 − 4 a c b^2-4ac b2−4ac
= 4 ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 − 4 ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 ≤ 0 =4(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2-4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i^2≤0 =4(i=1∑naibi)2−4i=1∑nai2i=1∑nbi2≤0
( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 ≤ ∑ i = 1 n a i 2 ∑ i = 1 n b i 2 (\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2≤\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i^2 (i=1∑naibi)2≤i=1∑nai2i=1∑nbi2
判别式：判定方程实根个数及分布情况的公式。
对于一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0(a≠0) ax2+bx+c=0(a=0)来说，根的判别式为 Δ = b 2 − 4 a c \Delta =b^2-4ac Δ=b2−4ac，
①当方程有两个不相等的实数根时， Δ \Delta Δ>0；
②当方程有两个相等的实数根时， Δ \Delta Δ=0；
③当方程没有实数根时， Δ \Delta Δ<0。
3、算术-几何平均不等式
给定一组数： a 1 , ⋯ , a n a_1,\cdots,a_n a1,⋯,an
算术平均值为 ( ∑ i = 1 n a i ) / n (\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i)/n (i=1∑nai)/n
几何平均值为 ( ∏ i = 1 n a i ) 1 n (\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_i)^{\frac{1}{n}} (i=1∏nai)n1
算术-几何平均不等式： 1 n ( ∑ i = 1 n a i ) ≥ ( ∏ i = 1 n a i ) 1 n \frac{1}{n}(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i)≥(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_i)^{\frac{1}{n}} n1(i=1∑nai)≥(i=1∏nai)n1
证明：
当 n = 2 n=2 n=2时，
1 2 ( a 1 + a 2 ) ≥ a 1 a 2 \frac{1}{2}(a_1+a_2)≥\sqrt{a_1a_2} 21(a1+a2)≥a1a2
⇔ ( a 1 + a 2 ) 2 ≥ 4 a 1 a 2 \Leftrightarrow(a_1+a_2)^2≥4a_1a_2 ⇔(a1+a2)2≥4a1a2
⇔ ( a 1 − a 2 ) 2 ≥ 0 \Leftrightarrow(a_1-a_2)^2≥0 ⇔(a1−a2)2≥0
当 n = 3 n=3 n=3时，
1 3 ( a 1 + a 2 + a 3 ) ≥ ( a 1 a 2 a 3 ) 1 3 \frac{1}{3}(a_1+a_2+a_3)≥(a_1a_2a_3)^{\frac{1}{3}} 31(a1+a2+a3)≥(a1a2a3)31
⇔ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x y z \Leftrightarrow x^3+y^3+z^3≥3xyz ⇔x3+y3+z3≥3xyz
⇔ ( x + y + z ) [ ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 ] ≥ 0 \Leftrightarrow (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]≥0 ⇔(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]≥0
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