2018-02-11

求n阶导数，y=e^x×cosx请帮忙！

以下用y(n)表示y的n阶导数。n=1,2,3……。

y=e^x*cosx

y'=e^x*cosx-e^x*sinx=e^x*(cosx-sinx)

--->y(1)=2^(1/2)*e^x*cos(x+Pi/4)

y''=e^x(cosx-sinx)+e^x*(-sinx-cosx)=-2e^x*sinx

--->y(2)=2*e^x*cos(x+Pi/2)

y'''=-2e^x*sinx-2e^x*cosx=-2e^x*(sinx+cosx)

--->y(3)=2^(3/2)*e^x*cos(x+3Pi/4)

y(4)=-2e^x*(cosx+sinx)-2e^x*(cosx-sinx...全部

以下用y(n)表示y的n阶导数。n=1,2,3……。

y=e^x*cosx

y'=e^x*cosx-e^x*sinx=e^x*(cosx-sinx)

--->y(1)=2^(1/2)*e^x*cos(x+Pi/4)

y''=e^x(cosx-sinx)+e^x*(-sinx-cosx)=-2e^x*sinx

--->y(2)=2*e^x*cos(x+Pi/2)

y'''=-2e^x*sinx-2e^x*cosx=-2e^x*(sinx+cosx)

--->y(3)=2^(3/2)*e^x*cos(x+3Pi/4)

y(4)=-2e^x*(cosx+sinx)-2e^x*(cosx-sinx)=-4e^x*cosx

--->y(4)=2^2*e^x*cos(x+Pi)。

组合以上结果，可以归纳出

y(n)=2^(n/2)*e^x*cos(x+nPi/4)。n=1,2,3,……。

为了结果可信，还必需用数学归纳法证明。收起