数据结构与算法分析——数学基础

1. 如果存在正常数$c$和$n_0$ 使得当$N\ge n_0$时$T(N)\le cf(N)$，则记为$T(N)=O(f(N))$。
2. 如果存在正常数$c$和$n_0$ 使得当$N\ge n_0$时$T(N)\ge cg(N)$，则记为$T(N)=\Omega (g(N))$。
3. $T(N)=\Theta (h(N))$当且仅当$T(N)=O(h(N))$和$T(N)=\Omega (h(N))$。
4. 如果对每一正常数$c$都存在常数$n_0$使得当$N>n_0$时$T(N)<cp(N)$，则$T(N)=o(p(N))$。有时也可以说，如果$T(N)=O(p(N))$且$T(N)\ne \Theta (p(N))$，则$T(N)=o(p(N))$。

上述定义的目的是要在函数间建立一种相对的级别。

$1000N=O(N^2)$称为大O标记法，$O(N^2)$读作“大ON的平方”。

当$T(N)=O(f(N))$时，我们是在保证函数$T(N)$是在以不快于$f(N)$的速度增长；因此$f(N)$是$T(N)$的一个上界。这意味着$f(N)=\Omega (T(N))$，于是我们说$T(N)$是$f(N)$的一个下界。

如果$g(N)=2N^2$，那么$g(N)=O(N^4)$，$g(N)=O(N^3)$和$g(N)=O(N^2)$从技术上看都是成立的，但是最后一个是最佳选择。

• 法则1：如果$T_1(N)=O(f(N))$且$T_2(N)=O(g(N))$，那么
  • $T_1(N)+T_2(N)=O(f(N)+g(N))$
  • $T_1(N)\ast T_2(N)=O(f(N)\ast g(N))$
• 法则2：如果$T(N)$是一个$k$次多项式，则$T(N)=\Theta (N^k)$。
• 法则3：对任意常数$k$，$lo{g}^{k}N=O(N)$。它告诉我们对数增长得非常缓慢。