第30卷 第3期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 30 No.3 2010年 5月 Journal of Science of Teachers′ College and University May 2010 文章编号：1007-9831(2010)03-0068-03 有限差分法解薛定谔方程与 MATLAB 实现 刘晓军 (齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006) 摘要：介绍了用有限差分法解薛定谔方程，以一维无限深势阱、含位势的一维无限深势阱为例求解，并应用 MATLAB 软件编程计算，模拟画出几率图形． 关键词：有限差分法；薛定谔方程；一维无限深势阱 中图分类号：O413.1 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2010.03.022 在量子力学中求解薛定谔方程是一个重要的问题，但在实际问题中往往很难确定解析解，这样利用数值方法求数值解就有一定的优势和实际意义[1]．还可以利用计算机手段给出形象化分析，更有利于理解和 应用．根据有限差分法中的二阶微分中心差分算符(其中忽略 3 x∆ 及更高阶项)[2] 22 2 )()(2)( )( d d x xxfxfxxf xf x ∆ ∆−+−∆+ = (1) 可将一维定态薛定谔方程[3] )()()()( d d 2 2 22 xExxVx x ϕϕ ϕ µ =+− = (2) 化为 )(])([)( 2 )()(2)( 2 2 xExVxxxxxx ϕ µ ϕϕ ϕ −∆=∆−+−∆+ = (3) 以点 xnx n ∆= ( Nn ....3,2,1= )将坐标分为 N 个相等的间隔，当 N 充分大时， x∆ 就足够小．将第k 个分点 的波函数简记为 )( xk k ∆= ϕϕ [4]．同时满足条件 0 0 == n ϕϕ ，则式(3)化简为 kkkkk Ex ϕ µ ϕϕ βϕ 2 211 )( 2 ∆=−+− −+ = (4) 式中 )()( 2 2 2 2 xkVxk ∆∆+= = µ β (5) 0 ...000 ...000 .................. 00...R-0 00 ... 00...0 1 2 2 1 = −− −− − −−− −− − ER RE E RER RE N N α α α α α (6) 式(6)为对应的久期方程． 式中 )(2; )(2 2 2 xkVR x R k ∆+= ∆ = α µ = (7) 将相对复杂的方程就转化为解久期方程的问题，即使维数再高也是容易求解的． 收稿日期：2010-03-05 作者简介：刘晓军(1972-)，男，黑龙江富裕人，副教授，硕士，从事理论物理与数值模拟研究．E-mail：lxj08@163.com 第 3 期 刘晓军：有限差分法解薛定谔方程与 MATLAB实现 69 2 数值求解与模拟 2.1 以一维无限深势阱为例 一维无限深势阱中的能量 2 2 2222 2 p 2 n mam k E hh == aa (8) l k p2=a ，( 3,2,1=a ⋯) (9) 取 100=N 个点，则 100100× H 且 0= nV ，a为步长，一维无限深势阱模型，见图 1. o A1=a ， al 101= ， 2 2 0 2ma t h = (10)               − − − − = 00 00 00 00 2...00 2...00 00...2 00...2 100 99 ... 2 1 10099...21 t