高等数学基础-函数

一丶对数函数

对数的基本概念

1. 定义：
   如果 $(a^b=c)$，那么我们说 ( b ) 是 ( c ) 的以 ( a ) 为底的对数，记作 $(b={\log }_{a}c)$。

2. 底数：
   对数的底数可以是任何正实数，但底数不能是1或负数。最常见的底数是10（常用对数）和自然对数的底数 ( e )（约等于2.71828）。

3. 对数函数：
   对数函数 $(b={\log }_{a}c)$ 是指数函数 $(a^x)$ 的反函数。

对数的性质

1. 对数的乘法法则：
   $[{\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y]$

2. 对数的除法法则：
   $[{\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y]$

3. 对数的幂法则：
   $[{\log }_a(x^b)=b{\log }_{a}x]$

4. 对数的换底公式：
   $[{\log }_a(x^b)=b{\log }_{a}x]$
   这个公式允许我们将任何底数的对数转换为以另一个底数（通常是10或 ( e )）表示的对数。

5. 对数的和的幂：
   $[{\log }_a(x+y)]$ 没有简单的形式，除非 ( x ) 和 ( y ) 满足某些条件。

6. 对数的零和负数：
   对数函数的定义域是正实数，因此对数不能是0或负数。

7. 自然对数：
   以 ( e ) 为底的对数称为自然对数，记作 $(\ln x)$。

8. 对数的单调性：
   对数函数在其定义域内是单调递增的。

9. 对数的奇偶性：
   对数函数不是奇函数也不是偶函数。

二丶幂函数

幂函数是数学中的一种基本函数类型，形式为$(f(x)=x^a)$，其中 ( a ) 是一个实数，称为幂指数或幂次。

幂函数的基本概念

1. 定义：
   幂函数定义为 ( f(x) = x^a )，其中 ( x ) 是变量，( a ) 是实数常数。

2. 指数：

   • 当 ( a ) 是整数时，幂函数表示 ( x ) 自乘 ( a ) 次。
   • 当 ( a ) 是分数时，幂函数表示 ( x ) 的根的乘积。
   • 当 ( a ) 是负数时，幂函数表示 ( x ) 的倒数的正指数幂。

3. 定义域：

   • 对于 ( a > 0 )，幂函数的定义域是所有实数。
   • 对于 $(a\le 0)$，幂函数的定义域是 ( x > 0 )（因为负数或零的负指数或分数指数没有实数解）。

4. 值域：

   • 当 ( a > 0 ) 且 ( x > 0 ) 时，( f(x) ) 也是正的。
   • 当 ( a < 0 ) 时，( f(x) ) 的值域是 $((0,+\infty ))$。

幂函数的性质

1. 奇函数和偶函数：

   • 如果 ( a ) 是奇数，( f(x) ) 是奇函数。
   • 如果 ( a ) 是偶数，( f(x) ) 是偶函数。

2. 单调性：

   • 当 ( a > 0 ) 时，幂函数在其定义域内是单调递增的。
   • 当 ( a < 0 ) 时，幂函数在其定义域内是单调递减的。

3. 连续性：
   幂函数在其定义域内是连续的。

4. 可微性：
   幂函数在其定义域内可导，其导数为 $(f^{\prime }(x)=a\cdot x^{a-1})$。

5. 图形特征：

   • 当 ( a > 0 ) 时，图形通过原点。
   • 当 ( a < 0 ) 时，图形在 ( x > 0 ) 时从左上方到右下方。
   • 当 ( a = 1 ) 时，图形是一条通过原点的直线。

6. 特殊值：

   • $(x^1=x)$
   • $(x^0=1)$ 对所有 $(x\ne 0)$ 成立。
   • $(x^{-1}=\frac{1}{x})$。

7. 幂的乘法法则：
   $[(x^a{)}^b=x^{ab}]$

8. 幂的乘积法则：
   $[(xy{)}^a=x^a{y}^a]$

9. 幂的除法法则：
   $[{\left(\frac{x}{y}\right)}^a=\frac{x^a}{y^a}]$

幂函数和根式互换:
$x^{\frac{a}{b}}=b\sqrt{x^a}$