前言

本篇记录SLAM十四讲中的，李群与李代数。本篇与群论相关，因此相当不是很好理解。我反复看了五遍以上才稍微弄懂这一章。

群定义

群是一个集合$G$与一种运算$◊$的复合，满足：
1.封闭性：$\forall a,b\in G,a◊b\in G$
2.结合律：$\forall a,b\in G,a◊b=b◊a$
3.幺元$\exists e\in G,\forall a\in G,a◊e=e◊a=a$
4.逆元:$\forall a\in G,\exists b\in G,a◊b=b◊a=e$

比如实数集与加法组成一个群：
$$\begin{gathered} a+b\in R \\ a+b+c=a+(b+c) \\ a+0=0+a=a \\ a+(-a)=0 \end{gathered}$$

李群与李代数的引出

之前提到的刚体变换的矩阵表示方法，即旋转矩阵$R$和变换矩阵$T$，都存在参数冗余以及自约束的问题。因而需要引入更方便数值计算的方法。

所谓李群，是实数域上的具有连续性质的群，并且局部可导。下面着重介绍正交群$SO(3)$与欧式群$SE(3)$。

正交群与欧式群

特殊正交群记为 S O ( 3 ) = { R 3 × 3 ∣ R R T = I , d e t ( R ) = 1 } SO(3)=\{R_{3\times 3}|RR^T=I,det(R)=1 \} SO(3)={R3×3​∣RRT=I,det(R)=1}，可用于表示连续的三维旋转。
特殊欧式群记为 S E ( 3 ) = { T ∣ T = [ R t 0 1 ] , R ∈ S O ( 3 ) , t 3 × 1 } SE(3)=\{T|T=\begin{bmatrix}R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix},R\in SO(3),t_{3\times1}\} SE(3)={T∣T=[R0​t1​],R∈SO(3),t3×1​}，可用于表示三维空间中的欧式变换。

李代数的引出

假设当前的旋转$R$是时间$t$的函数$R(t)$，并且当$t=0$时，$R(0)=I$。现在需要求旋转的速度：
$$\begin{gathered} R(t)R(t{)}^T=I \\ \dot{R}(t)R(t{)}^T+R(t)\dot{R}(t{)}^T=0 \\ \dot{R}(t)R(t{)}^T=-R(t)\dot{R}(t{)}^T=-(\dot{R}(t)R(t{)}^T{)}^T \end{gathered}$$
因为$\dot{R}(t)R(t{)}^T$是一个反对称矩阵，因此可以找到一个向量$\varphi (t)$，其反对称矩阵满足$\varphi (t{)}^{\wedge }=\dot{R}(t)R(t{)}^T$，有：
$$\begin{gathered} \dot{R}(t)=\varphi (t{)}^{\wedge }R(t) \\ R(0)=I \end{gathered}$$
上面的式子是一个带初值条件的矩阵微分方程，求解方法与普常微分方程类似：
$$R(t)=e^{\varphi (t{)}^{\wedge }t}$$
因此，任意时刻的旋转矩阵$R$都与一个特定的向量$\varphi$的反对称矩阵具有指数映射的关系。$\varphi$就是$R$对应的李代数$so(3)$。

李代数

对于不满足加运算的李群，不能直接通过李群求导，因此需要借助李代数来求导。

李代数是由一个集合、一个数域和一个二元运算李括号组成，李括号表示为：$[x,y]$。对于每个李群，都有对应的李代数，不同李代数的李括号并不相同。$so(3)$的李括号表示为：
$$[{\varphi }_1,{\varphi }_2]=({\varphi }_1^{\wedge }{\varphi }_2^{\wedge },{\varphi }_2^{\wedge }{\varphi }_1^{\wedge }{)}^{\vee }$$
s o ( 3 ) = { ϕ ∈ R 3 , ϕ ∧ ∈ R 3 × 3 } so(3)=\{\phi \in {\bf R^3},\phi ^\land\in {\bf R^{3\times 3}} \} so(3)={ϕ∈R3,ϕ∧∈R3×3}

$so(3)$的几何意义

如上图所示是一个向量$P$绕着单位向量$n$旋转$\theta$角度后得到$P^{\prime }$。假设$t=0$时，$P(0)=P$，绕$n$旋转的角速度为1rad/s，则t时刻的向量位置可表示为$P(t)$，并且$P(\theta )=P^{\prime }$。$P(t)$的瞬时速度$P^{\prime }(t)$是$P$绕$n$的线速度：
$$\begin{gathered} P^{\prime }(t)=n\times P(t) \\ \dot{P}(t)=n^{\wedge }P(t) \end{gathered}$$
这与上面李代数与旋转$R$的映射表达式相同。

李群与李代数的转换

已知$SO(3)$与$so(3)$之间的映射为$R=e^{{\varphi }^{\wedge }t}$，现在需要进行$so(3)与SO(3)$之间的转换：
$$e^{{\varphi }^{\wedge }t}=I+{\varphi }^{\wedge }+\frac{1}{2}({\varphi }^{\wedge }{)}^2+\frac{1}{3!}({\varphi }^{\wedge }{)}^3+\frac{1}{4!}({\varphi }^{\wedge }{)}^4+\dots$$
对于以上展开式，需要通过${\varphi }^{\wedge }$的化简进行：
$$\begin{gathered} \varphi =\theta n,||n|{|}_2=1 \\ {\varphi }^{\wedge }=\theta n^{\wedge } \\ {n}^{\wedge }{n}^{\wedge }=n{n}^T-I \\ {n}^{\wedge }{n}^{\wedge }{n}^{\wedge }=-n^{\wedge } \end{gathered}$$
代回展开式：
$$\begin{gathered} e^{{\varphi }^{\wedge }t}=n{n}^T-n^{\wedge }{n}^{\wedge }+\theta n^{\wedge }+\frac{{\theta }^2}{2!}(n{n}^T-I)+\frac{{\theta }^3}{3!}(-n^{\wedge })+\dots \\ =n{n}^T+(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}+\dots )n^{\wedge }-(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+\dots )n^{\wedge }{n}^{\wedge } \\ =n{n}^T+n^{\wedge }\sin \theta -n^{\wedge }{n}^{\wedge }\cos \theta \\ =n{n}^T+n^{\wedge }\sin \theta -n{n}^T\cos \theta +I\cos \theta \\ =n{n}^T(1-\cos \theta )+n^{\wedge }\sin \theta +I\cos \theta \end{gathered}$$
实际上就是刚体变换中的罗德里格斯公式。这也表明了$so(3)$与$SO(3)$的关系，就是旋转矩阵与旋转向量之间的关系。

后记

由于李群这章比较长，因此下次再记录李群求导的方法。