一、群

        群是一种集合加上一种运算的代数结构，记集合A，运算·，集合内元素为a，若满足以下四条性质，则称A成群；

         容易验证，旋转矩阵的集合与矩阵乘法运算构成群，称为特殊正交群；变换矩阵的集合与矩阵乘法也构成群，称为特殊欧式群；

二、李群与李代数

李群

        李群是具有连续（光滑）性质的群，既是群也是流形；直观上来看，一个刚体能够连续的在空间中运动，所以SO3和SE3都是李群，但是SO3和SE3只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以进行取极限，求导操作。

李代数的引出

         

可以看作，对R(t)求一次导数等于R(t)左乘一个对应的三维向量的反对称矩阵。

这里可以看出反映了一阶导数的性质，位于正切空间上。此时联立上述式子，代入初始条件

这一结果说明了对于任意t，都可以找到一个R和一个的对应关系，这种对应关系被称为指数映射。这里的就称为SO(3)对应的李代数so(3)；

（李群高维空间中低维的流型，在这个流形原点附近做一个切平面，这个切平面上的任一一个点都可以用exp给它映射回去）

李代数

        每个李群都有与之对应的李代数，李代数描述了李群单位元附近正切空间的性质。

so(3)

se(3)

se(3)是由一个和一个so(3)组成的六维向量，这里的反对称符号表示为由六维向量到四维方阵的映射，而不是表示的反对称矩阵。

三、指数映射和对数映射

        SO(3)与so(3)的映射关系

        由前面内容可以得知，指数映射反映了李代数到李群的对应关系，但是是一个矩阵，对于一个矩阵，如何求指数运算。
        将李代数表述如下：        利用如下性质，对exp函数进行泰勒展开
        得到结果

        我们可以看出， 这个式子就是上一讲中的罗德里格斯公式（旋转向量通过罗德里格斯公式后变为旋转矩阵），这这说明李代数so(3)的物理意义就是旋转向量。将角度限定在2角度内，可以得到李代数so(3)到李群SO(3)的唯一指数映射。同样的，给定旋转矩阵时，亦能通过对数映射求李代数。

        但实际上，可以通过上一节旋转向量的方法，旋转矩阵到向量的转换关系如下：        至此，说明了SO(3)和so(3)的对应关系。

        SE(3)与se(3)的映射关系

        同理SO(3)和so(3)的映射关系，泰勒扎克开化简：

其中：

        总结：

四、求导与扰动模型

        因为我们知道，李群没有加法运算，故导数无从定义。 求解思路：因为李代数是一个线性空间，可以在李代数上加小量，最后再映射到李群上。因为是对数映射关系，现在存在的问题就是在李代数上做加法是否等于在李群上做乘法。

        可惜这里是矩阵，这个等式是不成立的。 正确的等式是BCH公式：
        当A、B其中一个量为小量的时候，可以忽略其高阶项，进而达到化简BCH公式的目的这里：
          写法如下：

        通过上述内容，现在可以定义李代数上的导数，有两种方法：一种方法是对R对应的李代数加上小量，求相对于小量的变化率，称为导数模型；另一种方法是对R左乘或者右乘一个小量，求相对于小量的李代数的变化率，称为扰动模型；（从以往的经验上来说，扰动模型较为简单）

        导数模型：

        因为雅可比矩阵的计算很复杂，所以希望避免雅可比计算。

        扰动模型 [以SO(3)左乘扰动模型为例]：

        对李群左乘或者右乘微小扰动，然后对扰动求导，分为左扰动模型和右扰动模型。这里以左扰动模型为例：

这里第二式变换的原理是一阶泰勒展开，第四式将反对称矩阵与一阶矩阵相乘看作叉积的过程，交换后符号相反。（详见视觉SLAM十四讲笔记 03-李群与李代数 - 哔哩哔哩 (bilibili.com)）；由结果可以看出，相比于求导模型，这里扰动模型的计算结果不含雅可比矩阵的计算；所以扰动模型更加简洁实用；

        SE(3)的扰动模型：
        使变换矩阵左乘一个扰动，然后对扰动求导；

 这里：

所以有：

最后一步来源于：

计算较为复杂，暂时略去这一步的推导，综上，结果如下：