本文为美国克莱蒙特·麦肯纳学院（作者：Nathan Lenssen）的毕业论文，共37页。

离散傅里叶变换已成为数字信号分析中必不可少的工具。自从快速傅立叶变换发现和个人计算机的兴起，FFT的应用变得越来越广泛。数字信号处理领域是数学、统计学和电子工程的一个令人兴奋的交叉点。在这项研究中，我们的目的是获得背后的数学算法，可以从录制的音乐中提取和弦信息的理解。我们研究了基本的音乐理论，介绍并推导了离散傅立叶变换，并将傅立叶分析应用于音频文件以提取频谱数据。

The discrete Fourier transform has becomean essential tool in the analysis of digital signals. Applications have becomewidespread since the discovery of the Fast Fourier Transform and the rise ofpersonal computers. The field of digital signal processing is an excitingintersection of mathematics, statistics, and electrical engineering. In thisstudy we aim to gain understanding of the mathematics behind algorithms thatcan extract chord information from recorded music. We investigate basic musictheory, introduce and derive the discrete Fourier transform, and apply Fourier analysisto audio files to extract spectral data.

1. 引言
2. 音乐理论简介
3. 和弦检测算法
4. 傅里叶变换简介
5. 离散傅里叶变换的推导
6. 色谱图
7. 结论
   附录A 频谱分析的MATLAB代码

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