PU learning（Positive-unlabeled learning）是当样本集中只有部分标注好的正样本和其余未标注的样本时，如何学习一个二分类器。

这篇笔记记录一下论文《Learning Classifiers from Only Positive and Unlabeled Data》中提出的一种PU learning方法。

设$x$是一个样本，而y∈{0,1}y \in \{0, 1\}y∈{0,1}是二元标签。如果样本$x$被标注，记为$s=1$； 如果样本$x$未标注，记为$s=0$。

因为只有正样本被标注，所以当$s=1$时肯定有$y=1$，但是当$s=0$时，那么$y=1$或$y=0$都有可能。只有正样本被标注的事实可以用如下公式表示：
$$p(s=1|x,y=0)=0(1)$$
论文作的基本假设：标注好的正样本是随机的从所有正样本中挑选出来的。在论文中被称为"selected completely at random"假设，用公式表示为如下式：
$$p(s=1|x,y=1)=p(s=1|y=1)(2)$$
如果有一个训练集包含了服从满足式(1)和式(2)的分布$p(x,y,s)$的随机样本。也就是说这个样本集包含两个子集：”已标注“($s=1$)、“未标注”($s=0$)。如果把这两个子集作为标准训练算法的输入，这个算法会得到一个函数$g(x)$：$g(x)=p(s=1|x)$，称$g(x)$为nontraditional classifier，论文的主要作用是根据下面的引理1展示如何从$g(x)$获得一个traditional classifier $f(x)$：$p(y=1|x)$。

引理1：如果"selected completely at random"假设成立，那么有$p(y=1|x)=p(s=1|x)/c$，式中的$c=p(s=1|y=1)$

引理1的证明：我们有式(2)的假设：$p(s=1|x,y=1)=p(s=1|y=1)$。 对于$p(s=1|x)$有：
$$\begin{array}{rl}p(s=1|x)& =p(y=1\wedge s=1|x)\\ & =p(y=1|x)p(s=1|y=1,x)\\ & =p(y=1|x)p(s=1|y=1)\end{array}$$当我们将上式的两边都除以$p(s=1|y=1)$就得到了$p(y=1|x)$。

从引理1可以得到几个结论：

1. 分类器f是分类器g的增函数(increasing function)。也就意味着如果分类器f只是根据样本x属于类别$y=1$的概率来对样本排序，那么可以直接使用分类器g而不是分类器f。
2. $f=g/p(s=1|y=1)$只有当$g\le p(s=1|y=1)$是一个有效定义的概率$f\le 1$。也就是说$g>p(s=1|y=1)$ 是不可能的。

那如何估计$c=p(s=1|y=1)$呢？设有一个跟训练集同分布的验证集$V$，设$P$是$V$中有标注的子集（全是正样本)，那么我们有三种方法来估计$c=p(s=1|y=1)$：

1. 使用$g(x)$在子集P的预测均值：$\frac{1}{n}{\sum }_{x\in P}g(x)$， n是P的大小。

2. 使用$g(x)$在子集P的预测值之和与在验证集V的预测值之和的比值：${\sum }_{x\in P}g(x)/{\sum }_{x\in V}g(x)$

3. 使用$g(x)$在验证集的预测最大值：$ma{x}_{x\in V}g(x)$
   实际使用时，一般使用第一种方法。

所以可按照如下步骤来对一个样本$k$进行分类：

1. 使用标注数据和未标注数据训练分类器$g(x)$：$p(s=1|x)$
2. 计算$c=p(s=1|y=1)$，使用$g(x)$在验证集V的正样本子集P上的预测均值来得到c：$c=\frac{1}{n}{\sum }_{x\in P}g(x)$
3. 使用分类器$g(x)$预测样本 k被标注的概率$p(s=1|k)$
4. 计算样本k为正样本的概率：$p(y=1|k)=p(s=1|k)/p(s=1|y=1)$

参考资料：

1. Elkan, Charles, and Keith Noto. 2008. “Learning Classifiers from Only Positive and Unlabeled Data.” In Proceedings of the 14th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining. doi:10.1145/1401890.1401920.

2. https://github.com/pulearn/pulearn

3. https://github.com/phuijse/bagging_pu

4. https://dtai.cs.kuleuven.be/tutorials/pulearning/