-在机器学习领域有一个非常特殊的存在——无监督学习, 其中最为经典就是聚类算法了。聚类算法因为其不需要先验标签，因此在很多领域应用都较为广泛，其中最经典的算法就是Kmean Cluster。

1. K-mean聚类算法原理

对于给定的样本集，K-means按照样本之间的距离大小，将样本集划分为K个簇。让簇内的点尽量紧密的连在一起，而让簇间的距离尽量的大。
Kmean聚类的算法如下：

1. 对于K个簇，随机生成K个随机点作为中心点。
2. 对剩下的所有样本点计算到K个中心点的距离，并将自己标识为和距离自己最近的中心点同一个类别。
3. 对得到的K个簇，重新计算每个簇的中心点，也就是簇 C_i 中所有样本的均值向量
4. 基于新的中心点，再次把每个样本重新标识为和自己最近的中心点一样的类别，也就得到了新的K个簇
5. 重复3-4步知道中心点不再有变化为止

2. K-mean的几种距离计算

K-mean聚类算法中可以使用不同的距离计算方式，除了最常见的欧式距离，还可以使用曼哈顿距离，余弦距离等。对这几种距离的定义如下。

• 欧式距离（Euclidean Distance）
  这就是最为常用的距离计算方法，计算公式如下
  $$V1=x_0,x_1,...x_n,V2=y_0,y_1,...y_n$$
  $$d_{12}=\sqrt{\sum _{i=0}^n(x_i-y_i{)}^2}$$

• 曼哈顿距离（Manhattan Distance）
  纽约
  曼哈顿的街道规划是非常整齐的块状，街道纵横交错，从一个地方到另一个地方，需要经过的距离是走过的纵向和横向街道的距离和，这就是所谓的曼哈顿距离。
  
  计算公式如下：
  $$V1=x_0,x_1,...x_n,V2=y_0,y_1,...y_n$$
  $$d_{12}=\sum _{i=0}^n|x_i-y_i|$$

• 余弦距离（Cosine）

$$cosine(\theta )=\frac{V1.V2}{|V1||V2|}$$

3. K-mean聚类算法的数据预处理

3.1 数值类型的特征数据

因为Kmean算法是通过计算离散的点之间的距离来判定类别的，因此对数据的预处理，归一化就变得很重要。如果输入的数据值差异很大，那么在计算距离时一些值比较大的特征就会对距离的影响比较大，反之一些数值较小的特征对于距离计算的影响就会比较小。比如，年龄的范围在0-100，而收入的范围可能时1000-100,000之间，显然在聚类时收入的形象就会比年龄大出10-1000倍。为了排除这种特征本身数值范围对聚类的影响，对输入特征数据进行归一化就显得非常的重要了。
数值型数据的归一化有两种方式：

• Min-Max Normalization： 通过线性变换把数值数据映射到一个区域里，比如[0-1]之间。这种方法适用于特征数据在某特特定的值域内，比如年龄可以设定在0-150之间，比较目前还没有超过150岁的人类出现。
  转换方法： $$X=\frac{x-min}{max-min}$$
• Z-score standardize: 这种方法使用原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。经过处理的数据符合标准正态分布，即均值为0，标准差为1。这种方法适用于特征数据没有明确的上下限，比如年收入，最高收入始终可以被刷新，现在的训练数据可能无法覆盖未来实际数据的值域。
  转换方法：$$X=\frac{x-mean}{std}$$
  $mean是X的均值，std是他的标准差$

3.2 类别类型的特征数据

对于类别型的特征数据，分两类进行处理。

• 第一类是有层级关系的类别，比如受教育程度。文盲，小学，初中，高中，大学本科，硕士学历，博士学历，这显然是有一个层级关系的，相比小学，博士学历和文盲之间的差距显然要更大一些。对于这种类别特征，我们可以通过编码将他们转换成数值类型，比如我们可以将受教育程度转变成受教育年限，文盲，小学，初中依次可以对应与受教育年限0年，5年，9年，等。
• 第二类就是无层级关系的类别，比如性别，职业等。这些类别需要转换成数值形式，但不可以用1，2，3，这样有大小关系的数值来表示，因为这样编码就会拉大了一些类别之间的距离。我们应该用OneHot的编码方式将他们转换成哑码 —— 这是我自己定义的，就是说每个编码除了表示不同的类别之外不包含任何其他信息。以性别位例，我们可以将性别栏转换成性别男，性别女两栏，对于原来的性别为男的，性别男栏数据为1，性别女栏数据为0，反正亦然。
  原数据：

索引	姓名	性别
1	张三	男
2	李四	女
3	刘五	男

转换后数据：

索引	姓名	性别男	性别女
1	张三	1	0
2	李四	0	1
3	刘五	1	0

把一个类别特征数据转换成哑码，在这个类别中有多少个不同的类别值，那么就要产生多少个新数据栏，每个数据栏仅有两个值，0或1。

4. K值的选取和K-mean算法的衡量

4.1 聚类算法的评估指标

对聚类算法的评估指标有silhouette score和calinski harabasz scores两种。

• 轮廓系数（silhouette score）: 这个指标是用来衡量每个簇内部的聚合度。
  计算方法：
  对于每个数据点 $i\in C_i$ (数据点 $i$ 在簇内部 $C_i$), 让
  $$a(i)=\frac{1}{|C_i|-1}\sum _{j\in C_i,i\ne j}d(i,j)$$
  $C_k是与C_i$距离最近的簇，对于每个数据点 $i\in C_i$ (数据点 $i$ 在簇内部）
  $$b(i)=\frac{1}{|C_k|}\sum _{j\in C_k}d(i,k)$$

定义a：一个样本与同一簇类中的其他样本点的平均距离；
定义b：一个样本与距离最近簇类中所有样本点的平均距离；
$$silhouettescore=\frac{b-a}{max(a,b)}$$
轮廓系数处于[-1,1]的范围内，-1表示错误的聚类，1表示高密度的聚类，0附近表示重叠的聚类。

• calinski-harabasz Index： 这个指标是用来衡量每个簇和其它簇的距离。
  计算方法：
  对于一组规模为$n_E$ 的数据集 $E$，聚类成$k$个簇，
  $$calinski-harabaszIndex=\frac{tr(B_k)}{tr(W_k)}\ast \frac{n_E-k}{k-1}$$
  其中$tr(B_k)$为簇间离散矩阵的积，$tr(W_k)$为簇内离散矩阵的积，定义如下:
  $$B_k=\sum _{q=1}^k{n}_q(c_q-c_E)(c_q-c_E{)}^T$$
  $$W_k=\sum _{q=1}^k\sum _{x\in C_q}(x-c_q)(x-c_q{)}^T$$
  其中 $C_q$为簇 q 中的样本集合，$c_q$ 为簇 $q$的中心，$c_E$为数据集$E$的中心，$n_q$ 为簇 $q$ 中的样本数。

此外，常用的方法还有 手肘法（Elbow)，这个方法适用于K值比较小的时候，查看在不同K值下的损失函数的值，并作图。选取损失函数值下降趋势明显变小的这个点，就是最佳的K值选取点。

4.2 K值的选取

我们可以根据我们的需要设定一个聚类评估标准，然后根据这个评估标准来选取最佳的K值。此处我们以轮廓系数为例，来看一个实列。
首先，我们用make_blobs来生成一组数据，1000个数据点，5个中心。

x, y = make_blobs(n_samples=1000, n_features=2, centers=5)
plt.scatter(x[:,0],x[:,1],c=y)

我们对它用kmean算法进行聚类，分别设分类为3，4，5，6，7，然后来看一下使用手肘法得到的图像结果。

Sum_of_squared_distance = []
for n_clusters in range(3,7)
	model = KMeans(n_clusters=n_clusters, init="random", random_state=8).fit(x)   
	labels = model.predict(x)
	Sum_of_squared_distance.append(model.inertia_)
plt.plot([3,4,5,6,7], Sum_of_squared_distance, 'bx-')

在Kmean模型中inertia_参数是每个样本到它们最近的聚类中心的距离平方和，在sklearn的KMeans对象中inertia_属性就记录了该值。作图，从图中可以容易的发现，从k=5起该平方和值的递减变小，由此可以确定选择K值为5是最佳的。
同时，我们使用轮廓系数来确定K值。计算轮廓系数可以直接使用sklean.metrics对象下的方法silhouette_score， 其参数包括x值，kmean输出的类别值，以及计算距离的方法，此处我们选择euclidean即使用欧氏空间的距离计算规则。

from sklearn import metrics
for n_clusters in range(3,8)
	model = KMeans(n_clusters=n_clusters, init="random", random_state=8).fit(x)   
	labels = model.predict(x)
	silhouette_score = metrics.silhouette_score(
        x, 
        labels,
        metric='euclidean'
	)
	print（"K=%d, silhouette_score=%.6f"%(n_clusters，silhouette_score))

得到输出:
K=3, silhouette_score=0.559099
K=4, silhouette_score=0.639296
K=5, silhouette_score=0.701195
K=6, silhouette_score=0.630837
K=7, silhouette_score=0.542077
可见当K=5的时候， 轮廓系数分值最高，这个结论也是和手肘法是相互验证的。

但情况并不总是如此，在一些边界模糊的分类中，轮廓系数显示的结果和手肘法不一样。比如，我们生成的数据如下所示。

当K分别等于2到7时，我们得到的聚类结果如下图所示：
由于这个数据分布中三个类别聚集在图像左边，二另外两个类别聚集在图像右边，因此从图像上看，分成两大类或四类（左三类，右一类）都是合理的。那如果参考手肘法和轮廓系数又会得到什么样的结论呢？
首先我们来看一下轮廓系数，确实如先前所说，K=2和4时轮廓系数都是最大的。
K=2, silhouette_score=0.773288
K=3, silhouette_score=0.618731
K=4, silhouette_score=0.667729
K=5, silhouette_score=0.513711
K=6, silhouette_score=0.441556
K=7, silhouette_score=0.409318
再看手肘法的结果，你会惊讶的发现手肘法依旧显示在K=5的时候是最优，K值继续增加后距离平方和的减小不再明显。

由此可见，轮廓系数和手肘法在评估上的侧重点是不同的的，轮廓系数同时侧重类别内部的聚合度以及和其他类别的的距离，仅从图像上看该数据分成两类也是有其合理性的，但是手肘法的结果却非常一致，他仅考虑点和中心的距离，而不考虑不同类别之间的距离，因此他给出的结果始终是5个类。因此，在考虑K值时还是主要从实际需求出发，考虑多种评估手段的结果，做出判断。

5. PCA降维在聚类算法中的应用

PCA降维算法是将高维的数据降维到低维数据，并尽可能的保留最多的特征。比如，我们的数据有100个特征，对100个特征的数据进行聚类，那计算效率比如很低，但如果我们可以将其降维到5个特征且最大程度的保留原有100个特征中的信息，再进行聚类就会很大程度上提高计算效率。
这里需要注意的是这5个降维后的特征和原来100个特征不存在一对一的对于关系，也就是说这5个新的特征中的任何一个都是原来100个特征经过信息提取综合后的综合体。

PCA降维的核心思想就是矩阵的特征值和特征向量。读书时学习矩阵的特征值和特征向量，那是就纳闷什么叫特征，现在终于明白了就是包括矩阵最大的信息量的向量。

PCA降维的基本步骤如下：

1. 用x减去x每一行的均值，这是为了对x做归一化处理
2. 对与m行n列的数据x（有m条记录，每条记录有n个特征）首先计算他和他的协方矩阵 $C=X.X^T$，C的维度应该是$nxn$的。
3. 求C的特征值和特征向量。
4. 对特征值和特征向量对按照特征值从大到小的秩序进行排序。
5. 根据给定的降维的维度p提取前p个特征向量组成$n\ast p$的矩阵A
6. x点乘A得到$m\ast p$的降维后的矩阵，该矩阵以及是m行数据，每行数据又p个特征数据。

以下为numpy实现代码：

import numpy as np
# Generate a numpy array with 10000 recorders and each recorder contains 12 features
x = np.random.randn(10000, 12)
# For each value in the matrix, reduce its row mean
x -= x.mean(axis=0)
# Calculate the cov matrix
C = np.dot(x.T,x)
eigvalue, eigvector = np.linalg.eig(C) 
# Get the sort index of eigen values (large -> small)
new_index = np.argsort(eigvalue)[::-1] 
# Sort the eigen vetors according to the eigen value index, choose to the top 30 (reduce the deminsion to 30)
A = -eigvector[:,new_index].T[: 30] 
x_cal_reduced_dimension = x.dot(A[:30].T) 
# Print out the first data recorders
print("result from manual calculation")
print(x_cal_reduced_dimension[0])
print("components")
print(A)
print("explained variance ")
print(eigvalue[:3])
print("explained variance ratio ")
print((eigvalue/eigvalue.sum())[:3])