在机器学习中经常用梯度下降法、牛顿下降法、高斯牛顿法、列文伯格-马夸尔特法来训练模型，为了方便理解，本文严谨且详细的阐述了这几个算法的数学推导原理，并且用python程序加以实验验证。

1、测试数据

为了方便研究最小二乘法问题,现提供如下车辆时间和行驶距离的观测数据用于讨论和分析。

2、数学模型

令：车辆的初速度$v_0$ 、加速度$a$、时间$t$、距离 $\hat{y}$ ，第$i$组观测值为$(t_i,{\hat{y}}_i)$，时间$t$与距离$\hat{y}$满足的数学模型如下：
$$\hat{y}=f(v_0,a,t)=\frac{1}{2}a{t}^2+v_{0}t(公式59)$$$$\text{min}F(a,v_0)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{10}(f(v_0,a,t_i)-\widehat{y_i}{)}^2(公式60)$$
观察公式 60 发现， $\widehat{y_i}$ 和 $t_i$ 是 常 数 , $a$ 和 $v_0$ 是变量，可知该最小二乘问题是函数$F$关于 $a$ 和 $v$ 的最小极值问题。

3、梯度下降法

3.1、数学原理推导

链接地址

3.2、Python程序

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义数学模型
def f(args, t):
    return 0.5 * args[0] * np.power(t, 2) + args[1] * t

# 定义残差函数
def l(args, t, y):
    return f(args, t) - y

# 定义目标函数
def o(lv):
    return 0.5 * np.power(lv, 2)

# 定义关于目标函数第一个参数的一阶偏导函数
def oj1(args, t, y):
    return (o(l(args + [delta, 0], t, y)) - o(l(args, t, y))) / delta

# 定义关于目标函数第二个参数的一阶偏导函数
def oj2(args, t, y):
    return (o(l(args + [0, delta], t, y)) - o(l(args, t, y))) / delta

# 初始数据
t = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])  # 加速度实验的观测值,时间(单位:秒)
y = np.array([0, 11.52, 26.2, 43.5, 64.12, 87.57, 114.12, 143.5, 176.3, 211.5, 250.12])  # 加速度实验的观测值,距离(单位:米)
x = np.array([1, 1])  # 初始化参数[args(1);args(2)]
goal = 0.0001  # 目标误差
epochs = 10000  # 训练次数
delta = 0.0001  # 偏导计算的增量
ov = 0  # 初始化目标值

for k in range(epochs):
    # 误差计算
    tl = l(x, t, y)  # 计算残差值
    tmp_ov = np.sum(o(tl))  # 计算最新目标值
    tmp_error = np.abs(tmp_ov - ov)  # 目标值的变化
    print(f'{k}->目标值: [{tmp_ov}], 误差: [{tmp_error}]')
    ov = tmp_ov  # 更新目标值

    if tmp_error < goal:
        print(f'训练次数: {k+1}次...')
        break

    # 执行训练
    J = np.array([np.sum(oj1(x, t, y)),
                  np.sum(oj2(x, t, y))])  # 雅克比矩阵

    # 更新参数
    x = x - 0.0001 * J

# 打印训练结果
print(f'训练后的参数: {x}')
plt.plot(t, y, 'o', np.arange(min(t), max(t), 0.001), f(x, np.arange(min(t), max(t), 0.001)), '-')
plt.show()

3.3、执行日志

2301->目标值: [0.06649798204087369], 误差: [0.00010499914693314072]
2302->目标值: [0.06639346785247356], 误差: [0.00010451418840012883]
2303->目标值: [0.06628943641358499], 误差: [0.0001040314388885688]
2304->目标值: [0.06618588552519271], 误差: [0.00010355088839228421]
2305->目标值: [0.06608281299820142], 误差: [0.00010307252699129354]
2306->目标值: [0.06598021665344106], 误差: [0.00010259634476035562]
2307->目标值: [0.06587809432158329], 误差: [0.00010212233185777353]
2308->目标值: [0.0657764438431518], 误差: [0.00010165047843148367]
2309->目标值: [0.06567526306842077], 误差: [0.0001011807747310356]
2310->目标值: [0.0655745498573545], 误差: [0.00010071321106626396]
2311->目标值: [0.06547430207969993], 误差: [0.00010024777765457737]
2312->目标值: [0.06537451761472354], 误差: [9.978446497638238e-05]
训练次数: 2313次...
训练后的参数: [3.00520621 9.99137523]

3.4、训练结果

4、牛顿下降法

4.1、数学原理推导

链接地址

4.2、Python程序

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义数学模型
def f(args, t):
    return 0.5 * args[0] * np.power(t, 2) + args[1] * t

# 定义残差函数
def l(args, t, y):
    return f(args, t) - y

# 定义目标函数
def o(lv):
    return 0.5 * np.power(lv, 2)

# 定义关于目标函数第一个参数的一阶偏导函数
def oj1(args, t, y):
    return (o(l(args + [delta, 0], t, y)) - o(l(args, t, y))) / delta

# 定义关于目标函数第二个参数的一阶偏导函数
def oj2(args, t, y):
    return (o(l(args + [0, delta], t, y)) - o(l(args, t, y))) / delta

# 定义关于目标函数的(第一个参数,第一个参数)的二阶偏导函数
def oh00(args, t, y):
    return (oj1(args + [delta, 0], t, y) - oj1(args, t, y)) / delta

# 定义关于目标函数的(第一个参数,第二个参数)的二阶偏导函数
def oh01(args, t, y):
    return (oj1(args + [0, delta], t, y) - oj1(args, t, y)) / delta

# 定义关于目标函数的(第二个参数,第一个参数)的二阶偏导函数
def oh10(args, t, y):
    return (oj2(args + [delta, 0], t, y) - oj2(args, t, y)) / delta

# 定义关于目标函数的(第二个参数,第二个参数)的二阶偏导函数
def oh11(args, t, y):
    return (oj2(args + [0, delta], t, y) - oj2(args, t, y)) / delta

# 初始数据
t = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])  # 加速度实验的观测值,时间(单位:秒)
y = np.array([0, 11.52, 26.2, 43.5, 64.12, 87.57, 114.12, 143.5, 176.3, 211.5, 250.12])  # 加速度实验的观测值,距离(单位:米)
x = np.array([1, 1])  # 初始化参数[args(1);args(2)]
goal = 0.0001  # 目标误差
epochs = 10000  # 训练次数
delta = 0.0001  # 偏导计算的增量
ov = 0  # 初始化目标值

for k in range(epochs):
    # 误差计算
    tl = l(x, t, y)  # 计算残差值
    tmp_ov = np.sum(o(tl))  # 计算最新目标值
    tmp_error = np.abs(tmp_ov - ov)  # 目标值的变化
    print(f'{k}->目标值: [{tmp_ov}], 误差: [{tmp_error}]')
    ov = tmp_ov  # 更新目标值

    if tmp_error < goal:
        print(f'训练次数: {k+1}次...')
        break

    # 执行训练
    H = np.array([[np.sum(oh00(x, t, y)), np.sum(oh01(x, t, y))],
                  [np.sum(oh10(x, t, y)), np.sum(oh11(x, t, y))]])  # 黑塞矩阵
    J = np.array([np.sum(oj1(x, t, y)),
                  np.sum(oj2(x, t, y))])  # 雅克比矩阵

    # 更新参数
    x = x - np.linalg.inv(H) @ J

# 打印训练结果
print(f'训练后的参数: {x}')
plt.plot(t, y, 'o', np.arange(min(t), max(t), 0.001), f(x, np.arange(min(t), max(t), 0.001)), '-')
plt.show()

4.3、执行日志

0->目标值: [55574.229250000004], 误差: [55574.229250000004]
1->目标值: [0.04454421541289134], 误差: [55574.18470578459]
2->目标值: [0.04452996893422017], 误差: [1.4246478671167684e-05]
训练次数: 3次...
训练后的参数: [ 2.99458661 10.0356844 ]

4.4、训练结果

5、高斯牛顿法

5.1、数学原理推导

链接地址

5.2、Python程序

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义数学模型
def f(args, t):
    return 0.5 * args[0] * np.power(t, 2) + args[1] * t

# 定义残差函数
def l(args, t, y):
    return f(args, t) - y

# 定义目标函数
def o(lv):
    return 0.5 * np.power(lv, 2)

# 定义关于残差函数第一个参数的一阶偏导函数
def j1(args, t, y):
    return (l(args + [delta, 0], t, y) - l(args, t, y)) / delta

# 定义关于残差函数第二个参数的一阶偏导函数
def j2(args, t, y):
    return (l(args + [0, delta], t, y) - l(args, t, y)) / delta

# 初始数据
t = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])  # 加速度实验的观测值,时间(单位:秒)
y = np.array([0, 11.52, 26.2, 43.5, 64.12, 87.57, 114.12, 143.5, 176.3, 211.5, 250.12])  # 加速度实验的观测值,距离(单位:米)
x = np.array([1, 1])  # 初始化参数[args(1);args(2)]
goal = 0.0001  # 目标误差
epochs = 10000  # 训练次数
delta = 0.0001  # 偏导计算的增量
ov = 0  # 初始化目标值

for k in range(epochs):
    # 误差计算
    tl = l(x, t, y)  # 计算残差值
    tmp_ov = np.sum(o(tl))  # 计算最新目标值
    tmp_error = np.abs(tmp_ov - ov)  # 目标值的变化
    print(f'{k}->目标值: [{tmp_ov}], 误差: [{tmp_error}]')
    ov = tmp_ov  # 更新目标值

    if tmp_error < goal:
        print(f'训练次数: {k+1}次...')
        break

    # 执行训练
    tmp_j1 = j1(x, t, y)  # 关于第一个参数的一阶偏导函数的值
    tmp_j2 = j2(x, t, y)  # 关于第二个参数的一阶偏导函数的值
    H = np.array([[np.sum(tmp_j1 * tmp_j1), np.sum(tmp_j1 * tmp_j2)],
                  [np.sum(tmp_j2 * tmp_j1), np.sum(tmp_j2 * tmp_j2)]])  # 近似黑塞矩阵
    J = np.array([np.sum(tl * tmp_j1),
                  np.sum(tl * tmp_j2)])  # 近似雅克比矩阵

    # 更新参数
    x = x - np.linalg.inv(H) @ J

# 打印训练结果
print(f'训练后的参数: {x}')
plt.plot(t, y, 'o', np.arange(min(t), max(t), 0.001), f(x, np.arange(min(t), max(t), 0.001)), '-')
plt.show()

5.3、执行日志

0->目标值: [55574.229250000004], 误差: [55574.229250000004]
1->目标值: [0.04445524644031092], 误差: [55574.184794753564]
2->目标值: [0.044455246440310965], 误差: [4.85722573273506e-17]
训练次数: 3次...
训练后的参数: [ 2.99520263 10.03331435]

5.4、训练结果

6、列文伯格-马夸尔特法(LM 法)

6.1、数学原理推导

链接地址

6.2、Python程序

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义数学模型
def f(args, t):
    return 0.5 * args[0] * np.power(t, 2) + args[1] * t

# 定义残差函数
def l(args, t, y):
    return f(args, t) - y

# 定义目标函数
def o(lv):
    return 0.5 * np.power(lv, 2)

# 偏导函数
delta = 0.0001

def j1(args, t, y):
    return (l(args + [delta, 0], t, y) - l(args, t, y)) / delta

def j2(args, t, y):
    return (l(args + [0, delta], t, y) - l(args, t, y)) / delta

# 初始数据
t = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])  # 加速度实验的观测值,时间(单位:秒)
y = np.array([0, 11.52, 26.2, 43.5, 64.12, 87.57, 114.12, 143.5, 176.3, 211.5, 250.12])  # 加速度实验的观测值,距离(单位:米)
x = np.array([1, 1])  # 初始化参数[args(1);args(2)]
goal = 0.0001  # 目标误差
epochs = 10000  # 训练次数
delta = 0.0001  # 偏导计算的增量
ov = 0  # 初始化目标值

for k in range(epochs):
     # 误差计算
    tl = l(x, t, y)  # 计算残差值
    tmp_ov = np.sum(o(tl))  # 计算最新目标值
    tmp_error = np.abs(tmp_ov - ov)  # 目标值的变化
    print(f'{k}->目标值: [{tmp_ov}], 误差: [{tmp_error}]')
    ov = tmp_ov  # 更新目标值

    if tmp_error < goal:
        print(f'训练次数: {k+1}次...')
        break

    # 执行训练
    tmp_j1 = j1(x, t, y)  # 关于第一个参数的一阶偏导函数的值
    tmp_j2 = j2(x, t, y)  # 关于第二个参数的一阶偏导函数的值
    H = np.array([[np.sum(tmp_j1 * tmp_j1), np.sum(tmp_j1 * tmp_j2)],
                  [np.sum(tmp_j2 * tmp_j1), np.sum(tmp_j2 * tmp_j2)]])  # 近似黑塞矩阵
    J = np.array([np.sum(tl * tmp_j1),
                  np.sum(tl * tmp_j2)])  # 近似雅克比矩阵

    # 计算值λ
    if k == 0:
        lambda_val = 0.000001 * np.max(np.diag(H))
        v = 2
    else:
        tmp_delta = delta * np.ones(J.shape)
        beta = (tmp_ov - np.sum(o(l(x + tmp_delta, t, y)))) / (tmp_ov - (tmp_ov + J.T.dot(tmp_delta) + 0.5 * tmp_delta.T.dot(H).dot(tmp_delta)))

        if beta > 0:
            lambda_val = lambda_val * max([1/3, 1 - np.power(2 * beta - 1, 3)])
            v = 2
        else:
            lambda_val = lambda_val * v
            v = 2 * v

    print('-->值λ: ' + str(lambda_val))

    # 更新参数
    x = x - np.linalg.inv(H + lambda_val * np.eye(H.shape[0])).dot(J)

# 打印训练结果
print('训练后的参数: ' + str(x))
plt.plot(t, y, 'o', np.arange(min(t), max(t), 0.001), f(x, np.arange(min(t), max(t), 0.001)), '-')
plt.show()

6.3、执行日志

0->目标值: [55574.229250000004], 误差: [55574.229250000004]
-->值λ: 0.006333249999994566
1->目标值: [0.04451695772021884], 误差: [55574.18473304228]
-->值λ: 0.002111083333331522
2->目标值: [0.04445524644085119], 误差: [6.171127936764609e-05]
训练次数: 3次...
训练后的参数: [ 2.99520268 10.03331413]

6.4、训练结果

7、方法比较