最优控制的四种目标函数（二次型最优控制算法等）

天亮有惊喜

6576人浏览 · 2021-05-17 21:31:22

天亮有惊喜 · 2021-05-17 21:31:22 发布

0 背景

78节课上完《最优控制》，老师讲的比较好，就记录到这个Blog里面

1 最优控制的四种主要类型

最优控制目标函数主要有以下四种类型：

$(1)\ Minimum\ time\ path:\ J=t_{f}-t_{0}=\int^{t_{f}}_{t_{0}}dt$

$(2)\ Minimum\ fuel\ path:\ J=\int^{t_{f}}_{t_{0}}|u(t)|dt$

$(3)\ Minimum\ control\ effort:\ J=\int^{t_{f}}_{t_{0}}|u^{2}(t))|dt$

$(4)\ Tracking\ problem:\ J=\frac{1}{2}e^{T}(t_{f})Fe(t_{f})+\frac{1}{2}\int^{t_{f}}_{t_{0}}[e^{T}(t)\theta{}e(t)+u^{T}(t)Ru(t)]dt$

2 四种目标函数分析

对于类型（1），它强调动态品质，期望对时间最优化，比如货船靠岸，在巨大负载能量消耗下，需要在时间最优情况下靠岸。

对于类型（2）（3），它强调稳态性能，期望从初态到终态有最低燃料消耗/控制消耗。

而对于类型（4），仔细分析其表达式可知其同时包含类型（1、2、3），是目前使用最多的最优控制目标函数，常用于给定信号追踪问题，应用领域比如无人机、磁悬浮列车，电网控制等等。下面重点讲解：

可以看到，类型（4）由两部分组成，第一部分不包含时间： $\frac{1}{2}e^{T}(t_{f})Fe(t_{f}),\quad{}F:\ diag$ ，主要影响稳态性能，最终第一项得到的是一个标量，F是半正定对角矩阵，通过设置F的对角线元素可以放大或减小e(t)各个分量的影响，比如F(1)很大，表示e(1)的影响会被优化的特别小。第二部分包含时间（表示每一个时间节点都很重要），影响因素为误差e(t)和控制量u(t)，主要影响的是动态品质和稳态性能。显然，在有第一项的前提上，调节半正定对角矩阵θ和R相当于调节动态品质（快速性与时间有关），没有第一项时，相当于同时调节动态品质和稳态性能。

调节参数时有一个原则很重要：加权系数大的，那么最终优化后该量会比较小，所以越注重哪个，就把那个系数权值调大。

PS：

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