前言

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不仅可以用于降维算法中的特征分解，还可用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。接下来给大家介绍一下SVD的原理实现。

一、特征值和特征向量

首先我们来回顾一下特征值和特征向量的概念及性质：如果存在一个实对称矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ ，一个非零向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$ ，和一个标量 $\lambda \in \mathbb{R}$ 满足如下关系：
$$Ax=\lambda x$$
那么我们就可以将 $\lambda$ 说成是矩阵 $A$ 的一个特征值，而 $x$ 则是矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 那就是我们可以将矩阵 $A$ 进行特征分解。如果我们求出了矩阵 $A$ 的 n 个特征值 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_n$ ，以及这 n 个特征值所对应的特征向量 $w_1,w_2,...,w_n$，如果这 n 个特征向量线性无关，那么矩阵 $A$ 就可以用下式的特征分解表示：
$$A=W\Sigma W^{-1}$$
其中 $W$ 是这 n 个特征向量所张成的 $n\times n$ 维矩阵，而 $\Sigma$ 为这 n 个特征值为主对角线的 $n\times n$ 维矩阵。

一般我们会把 $W$ 的这 n 个特征向量标准化，即满足 $||w_i|{|}_2=1$ ，或者说 $w_i^T{w}_i=1$，此时 $W$ 的 n 个特征向量为标准正交基，满足 $W^{T}W=I$ ，即 $W^T=W^{-1}$，也就是说 $W$ 为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成：
$$A=W\Sigma W^T$$
注意到要进行特征分解，矩阵 $A$ 必须为方阵。那么如果 $A$ 不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以的，此时就轮到我们的SVD登场了。

二、SVD的定义

SVD 也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD 并不要求被分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，那么我们定义矩阵 $A$ 的 SVD 为：
$$A=U\Sigma V^T$$
其中 $U$ 是一个 $m\times m$ 的矩阵，$\Sigma$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为 0 ，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$V$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵。$U$ 和 $V$ 都是酉矩阵，即满足 $U^{T}U=I$ ，$V^{T}V=I$ 。下图可以很形象的看出上面 SVD 的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的 $U,\Sigma ,V$ 这三个矩阵呢？

如果我们将 $A$ 的转置和 $A$ 做矩阵乘法，那么会得到一个 $n\times n$ 的方阵 $A^{T}A$ 。既然 $A^{T}A$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$$
这样我们就可以得到矩阵 $A^{T}A$ 的 n 个特征值和对应的 n 个特征向量 $v$ 了。将 $A^{T}A$ 的所有特征向量张成一个 $n\times n$ 的矩阵 $V$ ，就是我们 SVD 公式里面的 $V$ 矩阵了。一般我们将 $V$ 中的每个特征向量叫做 $A$ 的右奇异向量。

如果我们将 $A$ 和 $A^T$ 做矩阵乘法，那么会得到 $m\times m$ 的一个方阵 $A{A}^T$ 。既然 $A{A}^T$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$$
这样我们就可以得到矩阵 $A{A}^T$ 的 m 个特征值和对应的 m 个特征向量 u 了。将 $A{A}^T$ 的所有特征向量张成一个 $m\times m$ 的矩阵 $U$ ，就是我们 SVD 公式里面的 $U$ 矩阵了。一般我们将 $U$ 中的每个特征向量叫做 $A$ 的左奇异向量。

$U$ 和 $V$ 我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵 $\Sigma$ 没有求出了。由于 $\Sigma$ 除了对角线上是奇异值其他位置都是 0 ，那我们只需要求出每个奇异值 $\sigma$ 就可以了。

我们注意到：
$$A=U\Sigma V^T\Rightarrow AV=U\Sigma V^{T}V\Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow A{v}_i={\sigma }_i{u}_i\Rightarrow {\sigma }_i=A{v}_i/u_i$$
这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵 $\Sigma$ 。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 $A^{T}A$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的 $V$ 矩阵，而 $A{A}^T$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的 $U$ 矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以 $V$ 矩阵的证明为例。
$$A=U\Sigma V^T\Rightarrow A^T=V{\Sigma }^T{U}^T\Rightarrow A^{T}A=V{\Sigma }^T{U}^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^2{V}^T$$
上式证明使用了：$U^{T}U=I$ ，${\Sigma }^T\Sigma ={\Sigma }^2$ 。可以看出 $A^{T}A$ 的特征向量组成的矩阵的确就是我们SVD中的 $V$ 矩阵。类似的方法可以得到 $A{A}^T$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的 $U$ 矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
$${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$$
这样也就是说，我们可以不用 ${\sigma }_i=A{v}_i/u_i$ 来计算奇异值，也可以通过求出 $A^{T}A$ 的特征值取平方根来求奇异值。

三、SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。假设这里有一个矩阵 $A$ 定义为：
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
我们首先求出 $A^{T}A$ 和 $A{A}^T$ ：
$$A^{T}A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$
$$A{A}^T=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$
进而求出 $A^{T}A$ 的特征值和特征向量：
$${\lambda }_1=3;v_1=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right);{\lambda }_2=1;v_2=\left(\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)$$
接着求 $A{A}^T$ 的特征值和特征向量：
$${\lambda }_1=3;u_1=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right);{\lambda }_2=1;u_2=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 0\\ -1/\sqrt{2}\end{array}\right);{\lambda }_3=0;u_3=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{3}\\ -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\end{array}\right)$$
利用 $A{v}_i={\sigma }_i{u}_i,i=1,2$ ，求奇异值：
$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)={\sigma }_1\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_1=\sqrt{3}$$
$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)={\sigma }_2\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 0\\ -1/\sqrt{2}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_2=1$$
当然，我们也可以用 ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$ 直接求出奇异值为 $\sqrt{3}$ 和 $1$ 。
最终得到 $A$ 的奇异值分解为：
$$A=U\Sigma V^T=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3}\\ 2/\sqrt{6}& 0& -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{6}& -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right)$$

四、SVD的一些性质

上面几个小节我们对SVD的定义和计算做了详细的介绍，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值，它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前 10% 甚至 1% 的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的 99% 以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的 k 个奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述原始矩阵。也就是说：
$$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\Sigma }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}{\Sigma }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$$
其中 k 要比 n 小很多，也就是一个大的矩阵 $A$ 可以用三个小的矩阵 $U_{m\times k}$ ，${\Sigma }_{k\times k}$ ，$V_{k\times n}^T$ 来表示。如下图所示，现在我们的矩阵 $A$ 只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以被近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户特征来进行相应的推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD被用于PCA降维做一个介绍。

五、SVD应用于PCA

在主成分分析（PCA）的原理中，我们介绍到要使用PCA完成数据的降维，需要找到样本协方差矩阵 $X^{T}X$ 的最大的 d 个特征向量，然后用这最大的 d 个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 $X^{T}X$ ，当样本数较多同时样本特征数也较多的时候，这个计算量是很大的。

注意到SVD也可以得到协方差矩阵 $X^{T}X$ 最大的 d 个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不先求出协方差矩阵 $X^{T}X$ ，也能求出我们的右奇异矩阵 $V$ 。也就是说，PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn 中的PCA算法就是用 SVD 实现的，而不是我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是 $m\times n$ 的矩阵 $X$ ，如果我们通过SVD找到了矩阵 $X{X}^T$ 最大的 d 个特征向量张成的 $m\times d$ 维矩阵 $U$，则我们如果进行如下处理：
$$X_{d\times n}^{\prime }=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$$
可以得到一个 $d\times n$ 的矩阵 $X^{\prime }$ ，这个矩阵和我们原来的 $m\times n$ 维样本矩阵 $X$ 相比，行数从 m 减到了 d ，可见，它是对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们所说的PCA降维。

六、总结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更能够大显身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单，因此值得我们去仔细的研究一番。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵的解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这并不影响它的使用。

七、参考文献

① 奇异值分解（SVD）原理与在降维中的应用 - 刘建平
② 线性代数之矩阵的属性和运算